Konfokale bizirkulare Quartiken und ...
... und elliptische Funktionen
Das Applet unten zeigt konfokale bizirkulare Quartiken mit 4 verschiedenen Brennpunkten auf der -Achse
bei . Die Kurven schneiden sich orthogonal und sind , bzw. Kurven einer elliptischen Funktion , welche Lösung der folgenden elliptischen Differentialgleichung ist:
- , wobei die Brennpunkte und die Scheitel auf der -Achse festlegen.
- , .
Die einzelnen Quartiken besitzen Eigenschaften, wie sie von Kegelschnitten her bekannt sind.
Man kann es auch so sehen: die Kegelschnitte sind möbiusgeometrisch Spezialfälle der bizirkularen Quartiken, nämlich solche, bei denen Brennpunkte zusammenfallen.
Für Ellipsen und Hyperbeln ist ein doppelt zählender Brennpunkt, für Parabeln ist sogar ein dreifacher Brennpunkt.
Ohne Begründung an dieser Stelle nennen wir einige Eigenschaften dieser Quartiken, die allgemein durch Gleichungen der folgenden Form beschrieben werden:
- Wählt man von den im Allgemeinen 4 verschiedenen Brennpunkten 2 Paare aus, so ergeben sich zwei hyperbolische Kreisbüschel, das sind Büschel von Kreisen durch 2 verschiedene Grundpunkte.
Durch jeden Punkt der Ebene, von den Punkten der Symmetrieachsen abgesehen, geht aus jedem der beiden Büschel je ein "Brennkreis". Die Quartiken der Schar sind Winkelhalbierende dieser Kreispaare.
Bei Kegelschnitten sind die Geraden durch die Brennpunkte "Brennlinien". Man kann aber auch die Kreise durch die Brennpunkte und dazu die Parallelen zur -Achse als "Brennkreise" ansehen: die Kegelschnitte sind Winkelhalbierende dieser Brennlinien. Dies kann man mit Ge
gebra nacherforschen. - Zu jeder Symmetrie gibt es die Quartik doppelt-berührende Kreise. Bei den Kegelschnitten sind das Kreise mit den Mittelpunkten auf einer der Achsen, welche den Kegelschnitt in 2 Punkten berühren. Da der Fernpunkt möbiusgeometrisch sowohl ein mindestens doppelt zählender Brennpunkt, als auch ein Punkt der Kurve darstellt, sind die Kegelschnitt-Tangenten in diesem Sinne doppelt-berührende Kreise. Wählt man einen der Brennpunkte aus, so stellt man fest: die Spiegelpunkte dieses Brennpunkts an den doppelt-berührenden Kreisen liegen auf den "Leitkreisen", bzw. Leitgeraden. Spiegelt man zB. einen der Brennpunkte einer Ellipse (oder einer Hyperbel) an den Tangenten, so liegen die Spiegelbilder auf dem Leitkreis, auch Direktrix genannt. Spiegelt man an den -achsensymmetrischen doppelt-berührenden Kreisen, so liegen die Bilder auf der Leitgeraden.
- Die Leitkreise sind symmetrisch zur -Achse, und man kann mit ihnen die Kurvenpunkte konstruieren. Bei Ellipsen ist das die "Gärtnerkonstruktion". Umgekehrt kann man aus einem Quartikpunkt mit Hilfe der Brennpunkte und der Symmetrien die Leitkreise konstruieren. Im obigen Bild besitzt jede Quartik neben der -Achse 3 Leitkreise!
Übrigens: ist der bewegliche Brennpunkt Mittelpunkt der Leitkreise, so ist die Quartik eine CASSINI-Quartik!
Läßt man die Brennpunkte fest und bewegt man nur den Scheitel auf der x-Achse, so erhält man die Quartiken einer konfokalen Schar. Zwei der Kurven sind CASSINI-Quartiken.
Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks Kegelschnitt-Werkzeuge
