Una introducción a las Funciones Lineales
- Autor:
- Luis Millán
- Tema:
- Funciones, Función lineal, Semejanza, Triángulos
Un concepto complejo desde una noción sencilla...
Vamos a poner a tu alcance una serie de recursos: videos, textos, aplicaciones de Geogebra, juntos todos ellos conformarán lo que llamamos un objeto de aprendizaje. Es importante que revises los mismos y realices las actividades... al final, la idea es componer todo junto, el concepto de función lineal
El siguiente video marca el comienzo... desde la noción de Curva...
Las funciones lineales
Hemos comenzado por dos ideas base: 1) La noción de curva, para acercarnos a la idea de función y 2) el hecho de ser la función lineal la función más sencilla, esto podría ponernos en un camino... de hecho, podríamos tratar de relacionar la función más sencilla con el polígono más sencillo: el triángulo.
Lo que haremos a continuación es poner en relación a la curva rectilínea, forma gráfica de la función lineal, con un grupo específico de los triángulos: los triángulos rectángulos, esto es, aquellos triángulos con un ángulo recto.
Revisemos esta peculiaridad de los triángulos rectángulos... Con tu cursor, y haciendo click en el punto B, modifica las dimensiones del triángulo...
Sobre la experiencia anterior...
En el applet de arriba, al mover el punto B obtienes diferentes triángulos rectángulos, con distintos valores de a, b y c. Todos estos diferentes triángulos tienen una relación, lo que llamamos un invariante, algo que no cambia a pesar que cambian los triángulos: conservan los cocientes de las longitudes de sus lados, y esto es un descubrimiento fantástico, ya que nos pone en contacto con la noción de semejanza, dándonos una idea de la utilidad de la geometría... imagina como esto tuvo especial utilidad en civilizaciones como la del Antiguo Egipto, cuya vida material dependía de la organización racional del cultivo de la tierra.
EL valor 0,91, obtenido al dividir b entre a, nos da una información interesante y muy útil para entender a las funciones lineales: nos da información sobre la "inclinación" del segmento AC, de la hipotenusa del triángulo.
Ahora... ¿Por qué la información sobre la inclinación de un segmento nos es importante?
Una primera aproximación a la forma analítica de una Función Lineal
Una curva, lo dijimos al principio, podría entenderse como un trazo en el plano cartesiano, en el que, cada vertical corta al trazo en uno y sólo un punto. Las funciones lineales, cuyas gráficas son lineas rectas que pasan por el origen (el centro del sistema de coordenadas), son el ejemplo más sencillo de curvas y son, también lo dijimos, el caso más sencillo de funciones... veamos más...
De estas nociones sencillas nos interesa pasar al siguiente nivel: entender qué se entiende por "expresión analítica" de una función.
La "forma analítica" de una función es la expresión en términos de operaciones que muestra explícitamente las variables, parámetros y relaciones que "resumen" a la función en una identidad.
Un caso sencillo....
Observemos la siguiente imagen:
Claramente... podemos observar... una recta, la curva que expresa una función lineal...
Ahora... apliquemos sobre nuestra curva lo observado con los triángulos...
Dibujamos, convenientemente este triángulo (usando el hecho de la semejanza), para obtener información sobre la inclinación del segmento AC (observese que la inclinación de AC, es... la inclinación de toda la curva)... calculando b/a obtenemos el valor 3...
Lo interesante aquí, es que, toda la gráfica, cualquier valor de la curva dibujada puede obtenerse con la expresión , y esto es algo importante, porque en este caso, toda la gráfica se corresponde con esta relación.
Claramente... podemos observar... una recta, la curva que expresa una función lineal...
Ahora... apliquemos sobre nuestra curva lo observado con los triángulos...
Dibujamos, convenientemente este triángulo (usando el hecho de la semejanza), para obtener información sobre la inclinación del segmento AC (observese que la inclinación de AC, es... la inclinación de toda la curva)... calculando b/a obtenemos el valor 3...
Lo interesante aquí, es que, toda la gráfica, cualquier valor de la curva dibujada puede obtenerse con la expresión , y esto es algo importante, porque en este caso, toda la gráfica se corresponde con esta relación.Observe el gráfico anterior y responda...
¿Qué valor de y se obtiene cuando evaluamos en ? Comente... y si no comprende, pregunte a su profesor.
Una definición... La Función Lineal
Podemos decir que estamos en condiciones de entender el concepto de función lineal, y los ejemplo anteriores tuvieron como objeto preparar la dicha comprensión:
Una función lineal es una expresión de la forma , o , donde se conoce como variable independiente y la variable () se comprende dependiente de los valores que asuma.
El siguiente video podría ser últil...