Détermination du centre du cercle d'Euler
Douze points remarquables sur l'axe orthique, polaires de H par rapport au cercle d'Euler et au cercle circonscrit.
Données
Soit ABC un triangle et cercle (c) son cercle circonscrit, de centre O.
On désigne par H son orthocentre.
AA1, BB1, CC1 : les trois hauteurs, A1, B1, C1 les pieds des hauteurs, formant le triangle orthique, inscrit dans le cercle d'Euler (c’) du triangle ABC ;
Ω, milieu de [OH], est le centre du cercle d'Euler ;
A", B", C" : les milieux des segments [AH], [BH], [CH], situés sur le cercle d'Euler ;
P, Q, R : les intersections des droites (BC, B1C1), (CA, C1A1), (AB, A1B1) ;
P’, Q’, R’ : les intersections de (B"C", B2C2), (C"A", C2A2), (A"B", A2B2) ;
I, J, K : les intersections de (B1C", BC2), (C1A", CA2), (A1B", AB2) ;
I’, J’, K’ : les intersections de (C1B", CB2), (A1C", AC2), (B1A", BA2);
P1, Q1, R1 : les intersections de (B"C", B1C1), (C"A", C1A1), (A"B", A1B1) ;
I1, J1, K1 : les intersections de (B"C1, C"B1), (A"C1, C"A1), (B"A1, A"B1) ;
Points remarquables sur l'axe orthique, polaires de H par rapport au cercle d'Eulert
Les points P, Q, R sont alignés sur un même droite Δ, axe orthique du triangle, axe radical des deux cercles (c) et (c’),
Les six points P1, Q1, R1, I1, J1, K1 appartiennent à une droite D1, polaire de H par apport au cercle d'Euler ;
L'axe orthique Δ est perpendiculaire à la droite d'Euler (l'axe radical des deux cercles est perpendiculaire à la ligne des centres OΩ) ;
Les droites D1 et Δ sont parallèles.
Les droites (AI1), (BJ1), (CK1) sont concourantes en Ω, centre du cercle d'Euler (c’) du triangle ABC.
Outils GeoGebra
Le centre du cercle d'Euler est le point X(5) de ETC (encyclopédie des points du triangles).
Il se trouve avec la commande : Ω = TriangleCentre[A,B,C,5]
Descartes et les Mathématiques - L'axe orthique