Investigaciones
- ¿Sucederá lo mismo con los triángulos interiores?
- En la construcción original, se me ocurre dibujar los segmentos AH, BK y CG, aparece un punto misterioso, ¡qué mosqueo!
- También se me ocurre dibujar las circunferencias circunscritas a los tres triángulos equiláteros, de nuevo ese punto. Y me pregunto ¿quién es ese punto y qué propiedad tiene? ¿Sucede siempre?
Revelamos varias sorpresas:
- Los segmentos AH, BK y CG miden lo mismo.
- AH y BK forman entre sí ángulos de 120º, al igual que AH y CG o BK y CG.
- El punto que hemos encontrado es el primer punto isogónico, es decir desde él se ven los lados del triángulo ABC bajo un ángulo de 120º siempre que el triángulo tenga los ángulos menores a 120º.
En el siguiente applet podrás comprobar que el primer punto isogónico está en el interior del triángulo ABC cuando todos los ángulos del triángulo ABC son inferiores a 120º y que el punto intersección de las rectas AH y BK, AH y CG, BK y CG está fuera del triángulo ABC si alguno de los ángulos del triángulo supera los 120º. En este caso se visualiza uno de los lados bajo un ángulo de 120º y los otros dos lados bajo un ángulo de 60º. A este punto se le llama segundo punto isogónico.
Aquí puedes ver la medida de los ángulos a los que estamos haciendo referencia.
Terminamos la sección mostrando el rastro de los dos puntos isogónicos al variar uno de los vértices del triángulo ABC, es decir, manteniendo un lado del triángulo fijo.
En el siguiente applet puedes pinchar con el ratón sobre los vértices del triángulo y observar cual es el lugar geométrico de los puntos isogónicos.