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二次曲線に外接する多角形と極線

作成者:
Bunryu Kamimura

現象の多様性の中に潜む本質

現象を広げることを試みてみる。 例えば、3を4に5、6にと、外接多角形に広げてみる。⇒下図 すると、共通する現象が現れてくる。 「対角線が一点で交わる」という現象が。 このことは、この一点を極とする極線があるということであり、その極線を通じて考察できる。 例えば、外接多角形には接点の作る内接多角形がある。 この外接多角形と内接多角形の関係はどうなっているのだろうか。

楕円に外接する多角形の性質について

円に外接する多角形の極線について

下の図は円に外接する三角形を作図したもの。 この中には、三角形だけでなく、四角形や六角形が表れてくる。 これを見ると、「円に外接する多角形とその接点が作る内接多角形の極線は同じ」である。 ∵外接する多角形の頂点Fを極と考えると、その極線DCは極線。  BFの極はIなので、KはIから円への接点になる。  三角形の場合は、内接チェバ三角形と外接三角形の交点が極線となることが確かめられる。 つまり、この交点を極とする円の極線と三角形の極線は同じである。 また、四角形BCKLの極線も同じである。 さらに、六角形BMCKDLとその外接六角形のパスカル線も同じである。(作図をしてみよう) したがって、円に外接する多角形(3・4・6)とその接点が作る内接多角形の極線は同じ。

円に外接する三角形

楕円に外接する多角形は極を持つ

上の円について言えることは、射影をすれば二次曲線にも言える。 二次曲線の極は必ず極線を持つ。 逆に極線から外接と内接の四角形を作図することができる。⇒下図 これを見ると、外接四角形と内接四角形の関係もわかってくる。 また、 極線から外接三角形を作ることはできないが、外接三角形から極線は作図できる。 このとき、対辺の交点はないので、上図のように、外接の三角形と内接の三角形の交点が 円の極線と一致することは確かめられる。 つまり、同じ極の極線の作図は、二次曲線や外接多角形でも同じことであり、 三角形の場合はどんな三角形でも極と内接する二次曲線が作図できるので、 極線上にある点を極とする三角形の極線はその二次曲線を描く。

楕円と極線から外接四角形を作図できる

外接多角形には必ず極がある

極があれば極線がある。 二次曲線からある点を極とする多角形を作図することができるが、 極を通る直線の接点は必ず対になっているので、できる多角形は偶数多角形である。 例えば、この四角形から八角形ができて、 接点を結んだ線も頂点を結んだ線も同じものということが言える。 上で述べたように、そのうちの三角形は必ず内接する二次曲線があるので、 どんな三角形にも極があり、極線がある。