Reflexionen über ...
... Brennpunkte, Leitkreise, Wellen und Kreisscharen
(14.06.2018) Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks Kegelschnitt-Werkzeuge
Was wollen die vorangegangenen Bilder anzeigen? Es geht um einen Zusammenhang zwischen Kreisbewegungen, Brennpunkten und Leitkreisen, der sich nicht nur bei den Kegelschnitten finden läßt. Wir versuchen im Folgenden diese Zusammenhänge zu erhellen, ohne auf die Beweise einzugehen. Diese folgen an anderer Stelle. Allen Bildern liegen "quadratische Vektorfelder" in der komplexen Gaussschen Zahlenebene, bzw. auf der Riemannschen Zahlenkugel zugrunde:Wir untersuchen ein quadratisches Vektorfeld als Produkt zweier (verschiedener) linearer Vektorfelder, speziell als "Produkt" zweier Kreisbüschel: durch jeden Punkt der Ebene, von den Brennpunkten abgesehen, geht aus jedem Büschel genau ein Kreis.
- Die Lösungskurven des quadratischen Vektorfeldes sind bei geeigneter Skalierung die Winkelhalbierenden der Kreise der beiden Kreisbüschel.
- : Die 4 verschiedenen Brennpunkte liegen auf einem Kreis. Lösungskurven sind konfokale zweiteilige Quartiken. Reflexion 2 und Reflexion 6.
- : Von den 4 verschiedenen Brennpunkten liegen 2 Paare spiegelbildlich auf zwei orthogonalen Kreisen. Lösungskurven sind einteilige konfokale Quariken. Reflexion 3. Sonderfall: : Tetraederfall. Lösungskurven bilden ein Netz von konfokalen 1-teiligen Quartiken, die sich unter Vielfachen von 30° schneiden.
- und 4 verschiedene Brennpunkte: diese besitzen harmonische Lage. Lösungskurven sind konfokale 2-teilige Quartiken und im 45° Winkel dazu konfokale 1-teilige Quartiken.
- und zwei einfache und ein doppelt-zählender Brennpunkt. Wählt man letzteren als , so erhält man konfokale Ellipsen und Hyperbeln als Lösung. Reflexion 1 (Ellipse) und Reflexion 5 (Hyperbel)
- und ein einfacher und ein dreifach-zählender Brennpunkt. Wählt man letzteren als , so erhält man konfokale Parabeln als Lösung. Reflexion 4 (Parabel).
- , 2 doppelt zählende Brennpunkte oder ein 4-fach zählender Brennpunkt: das quadratische Vektorfeld ist das Quadrat eines linearen Vektorfeldes. Lösungskurven sind die Kreise eines Kreisbüschels. Lösungsquartiken können auch das Produkt aus 2 verschiedenen Kreisen des Büschels sein.
- die Wellen werden an den Quartiken als Spiegel reflektiert und bewegen sich als Wellen des anderen Büschels weiter
- der Welle, die in der Senke verschwindet, entspricht im anderen Kreisbüschel der Leitkreis des Brennpunkt
(14.06.2018) Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks Kegelschnitt-Werkzeuge
In dem Quadrik-Büschel liegen 4 Kegel: das ist projektiv zu sehen. In der euklidischen 3D-Darstellung erahnt man 3 Zylinder und einen Kegel, dessen Spitze im Kugelmittelpunkt liegt. Die 4 projektiven Kegelspitzen sind für alle Quartiken der Schar identisch. Sie sind die Pole der 4 paarweise orthogonalen Symmetriekreise.