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Verschieben von Funktionsgraphen

Autor:John Illing

Herzlich willkommen! :)

In dieser Lerneinheit wirst du ganz selbstständig -- bei Fragen kannst du dich natürlich an deine Mitschüler oder deinen Lehrer wenden -- die Verschiebung von Graphen in x- und y-Richtung erarbeiten und einüben. Nebenbei wirst du einige sehr nützliche Funktionen von GeoGebra kennenlernen, die es dir ermöglichen die Lösung vieler Aufgaben selbst zu überprüfen. Es sei an dieser Stelle ausdrücklich betont, dass die GeoGebra-Funktionen auch in Zukunft nur als Hilfsmittel zur Aufgabenbearbeitung verwendet werden sollten. Eine Bearbeitung der Aufgaben "zu Fuß", also mit Stift, Papier und Hirnschmalz, ist grundlegende Voraussetzung für das Verstehen und erfolgreiche Anwenden des Stoffs! ;-) Bevor wir durchstarten können, sollten wir uns aber kurz noch einmal ins Gedächtnis rufen, was wir schon zu dem Thema wissen, um einen lockeren Einstieg zu finden. Viel Erfolg und Spaß! ===================================================================== ===================================================================== INHALT 1) Warm Up 2) Verschiebung von Funktionsgraphen 1. Verschiebung in y-Richtung  (I) Potenzfunktionen  (II) Ganzrationalen Funktionen 2. Verschiebung in x-Richtung  (I) Potenzfunktionen  (II) Ganzrationalen Funktionen 3. Verknüpfung von Verschiebungen 3) Übungen ===================================================================== =====================================================================

1) Warm Up!

Betrachte zunächst drei Funktionstypen, die du bereits kennengelernt hast:
  1. Lineare Funktionen (Klasse 8)
  2. Quadratische Funktionen (Klasse 9)
  3. Sinusfunktion (Klasse 10)
Aufgabe: a) Notiere die jeweilige Funktionsgleichung in allgemeiner Form. Überprüfe deine Lösung, indem du   die entsprechenden Kontrollkästchen unten aktivierst. b) Überlege dir kurz, wie du aus den Gleichungen der Linearen und der Sinusfunktion etwas über   die Verschiebung der zugehörigen Graphen herauslesen kannst. Besprich deine Ideen kurz(!)   mit deinem Nachbarn. c) Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion liefert uns keine direkten Informationen.   Du hast aber bereits die Scheitelpunktform kennengelernt.   Notiere sie (Kontrolle unten) und erkläre, wie man aus ihr die Verschiebung der Normalparabel   zu ablesen kann.

Zu Aufgabe a)

Prima! Nachdem du das Warm Up erfolgreich abgeschlossen hast, geht's jetzt endlich ans Eingemachte! ;) ===================================================================== =====================================================================

2) Verschieben von Funktionsgraphen

1. Verschiebung in y-Richtung (I) Verschiebung von Potenzfunktionen Im Warm Up hast du dir im Grunde bereits Gedanken zu zwei Potenzfunktionen gemacht, nämlich den Linearen () und den Quadratischen Funktionen (). An dieser Stelle ist dir sicher aufgefallen, dass die Verschiebung in y-Richtung... ... bei linearen Funktionen vom Summanden abhängt. ... bei quadratischen Funktionen vom Summanden abhängt. Der Einfachheit halber betrachten wir nur Potenzfunktionen mit . Die Ergebnisse lassen sich übertragen. Aufgabe: a)  Betrachte die Graphen unten und variiere sowohl den Exponenten    als auch den Summanden .    Überlege dir, wie weit und in welche Richtung der Graph von verschoben wurde.    Als grafische Hilfe kannst du dir feste Punkte, Pfeile und nach eigener Überlegung(!)    die Verschiebung einblenden lassen. b)  Vergleiche die beiden Funktionsgleichungen und überlege dir, aus welchen beiden Bestandteilen    sich die Gleichung der Funktion  zusammensetzt (Lösung unten). c)  Blende nun die Wertetabelle ein und beschreibe, wie man anhand der Werte erkennen kann,    dass eine Verschiebung in y-Richtung vorliegt (Lösung unten).
(II) Verschieben von ganzrationalen Funktionen Nachdem du herausgefunden hast, dass sich die Verschiebung der Graphen von Potenzfunktionen in y-Richtung durch das Addieren eines Summanden bewerkstelligen lässt, ist der Übergang von Potenzfunktionen auf ganzrationale Funktionen nur noch Formsache. Mache dir zunächst grafisch plausibel, dass diese Verschiebung in gleicher Weise vorgenommen wird, indem du unten ein beliebiges Polynom eintippst (grünes Feld) und über den Schieberegler den Funktionsterm von veränderst. Als Hilfe kannst du dir wieder Punkte, Pfeile und die Verschiebung einblenden lassen. Überlege dir, wie die Funktionsgleichung aussehen muss, bevor du sie einblendest. Vergleiche abschließend erneut die Funktionswerte in der Wertetabelle.
 Bevor du dich mit der Verschiebung in x-Richtung auseinandersetzt, solltest du das, was du bisher gelernt hast, sichern! Hole dir hierfür das Arbeitsblatt von deinem Lehrer. Das vollständig ausgefüllte Arbeitsblatt zur Überprüfung findest du auch bei deinem Lehrer. Hinweise: Für die Skizze kannst und sollst du natürlich GeoGebra als Hilfsmittel verwenden. Gib einfach den Funktionsterm oben ein und stelle den Regler auf den richtigen Wert. Übertrage auch die Pfeile (farbig!) in dein Koordinatensystem. Die zugehörige Wertetabelle kannst du ebenso direkt auf dein Arbeitsblatt übernehmen. Überlege dir zum Schluss, wo und mit welcher Beschriftung du die farbigen Pfeile aus dem Graphen auch in der Wertetabelle einzeichnen könntest.
2. Verschiebung in x-Richtung (I) Verschiebung von Potenzfunktionen Wie bei der Verschiebung in y-Richtung, wirst du als erstes die Verschiebung einfacher Potenzfunktionen in x-Richtung kennenlernen. Aufgabe: Gib eine Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion an, deren Graph eine Normalparabel ist, die um 2 Einheiten nach links verschoben wurde. (Hinweis: Warm Up!)
Aufgabe: a) Stelle die Schieberegler unten so ein, dass die Normalparabel und die nach links verschobene Parabel aus der vorherigen Aufgabe angezeigt werden. b) Blende die zugehörige Wertetabelle ein und vergleiche die Funktionswerte von und . Schreibe anschließend deine Beobachtungen auf. (Du kannst auch den Hinweis einblenden, falls nötig. Die Lösung findest du unten.)
c) Aktiviere nun die Wertetabelle und variiere den Exponenten sowie den Parameter . Überprüfe sowohl anhand der Graphen als auch anhand der Wertetabelle, ob sich deine Beobachtungen aus Aufgabe b) auf die Potenzfunktionen übertragen lassen. (Hinweis: Der Parameter sollte ganzzahlig sein, um die angegebene Wertetabelle verwenden zu können. Möchtest du andere Werte testen, musst du selbst mit dem Taschenrechner nachrechnen.) d) Gib eine Gleichung an, die den Zusammenhang zwischen den beiden Funktionen und darstellt. Verwende den Parameter für die Verschiebung in -Richtung. (Tipp: Verallgemeinere die Gleichung von , die dir angezeigt wird.) (II) Verschiebung von ganzrationalen Funktionen Aufgabe: a) Mache dir zunächst grafisch plausibel, dass diese Verschiebung so vorgenommen wird, wie bei den Potenzfunktionen, indem du unten ein beliebiges Polynom eintippst (grünes Feld) und über den Schieberegler den Funktionsterm von veränderst. Als Hilfe kannst du dir wieder Punkte, Pfeile und Verschiebung einblenden lassen. b) Überlege dir, wie die Funktionsgleichung aussehen muss, bevor du sie einblendest. Vergleiche abschließend erneut die Funktionswerte in der Wertetabelle.
Auch die Verschiebung in x-Richtung möchte festgehalten werden! Hole dir das entsprechende Arbeitsblatt bei deinem Lehrer. Hinweise: Wie bei der Verschiebung in y-Richtung, kannst du das GeoGebra Applet benutzen. Im Graphen sollten wieder farbige Pfeile die Verschiebung verdeutlichen. Ebenso solltest du dir überlegen, wo und mit welcher Beschriftung du Pfeile in der Wertetabelle setzen könntest. 
3. Verknüpfung von Verschiebungen Abschließend wollen wir nun die beiden Verschiebungen, die wir kennengelernt haben verknüpfen und gleichzeitig auf einen Funktionsgraphen anwenden. Aber geschieht das wirklich "gleichzeitig"? Wenn du dich noch einmal an die Sinusfunktion zurückerinnerst, so wirst du schnell merken, dass alle Veränderungen am Graphen in einer bestimmten Reihenfolge vorgenommen wurden. Das ist nicht nur bei der Sinusfunktion so, sondern bei allen Funktionen! Aufgabe: a) Mache dir zuerst plausibel, wie die Verschiebungen sich graphisch auswirken, indem du eine beliebiges Polynom eingibst (grünes Feld) und die Schieberegler variierst. Du kannst die Verschiebungen als Hilfe einblenden. b) Gib eine Funktionsgleichung an, die den Zusammenhang zwischen den Graphen von und herstellt und die beiden Parameter und enthält. c) Blende die Wertetabelle ein und überlege dir, in welcher Reihenfolge die Verschiebungen vorgenommen werden. Der Funktionsterm zum Graphen von , die Pfeile und die Benennung der Parameter geben dir bereits Anhaltspunkte für die Reihenfolge. Der Hinweis ist für die konkrete Funktion angelegt, deren Graph um 3 nach rechts und 2 nach oben verschoben wird!
 Du kennst den Ablauf ja mittlerweile ;) Auch zu diesem Abschnitt gibt es ein Arbeitsblatt, auf dem du die Ergebnisse sichern solltest. Hinweise: Du kannst dich an den Abschnitten 1. und 2. orientieren, denn setzt sich aus und zusammen. ===================================================================== =====================================================================

Herzlichen Glückwunsch, du hast den Theorieteil gemeistert! :)

Jetzt ist es an der Zeit das Gelernte in den Übungen praktisch umzusetzen!

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3) Übungen

Hole dir das Übungsblatt von deinem Lehrer. Im Folgenden findest du Hinweise und GeoGebra Tools (mit Kurzanleitung), die du verwenden kannst, um deine Lösung zu überprüfen, oder die dir bei der Lösungsfindung helfen können. Es gibt auch kleine Zusatzaufgaben, an deren Lösung du dich wagen solltest, um dein Verständnis für den Stoff zu vertiefen.

!!! VERSUCHE ZUERST DIE AUFGABEN OHNE HILFSMITTEL UND HINWEISE ZU LÖSEN !!!

-- Für Hinweise bitte weiterscrollen! --

Hinweise und Lösungen =====================================================================

Aufgabe 2: Hilfsmittel - GeoGebra (CAS)

Zur Überprüfung, ob du richtig ausmultipliziert und vereinfacht hast, kannst du die CAS (Computer Algebra System) Funktion von GeoGebra nutzen. Es gibt zwei Möglichkeiten. Möglichkeit 1 ist sinnvoller, wenn man den Term von im Nachhinein noch ändern möchte und die weiteren Schritte trotzdem ausgeführt werden sollen. Möglichkeit 1: 1. Definiere zunächst die Funktion . - Tiefgestellt kannst du schreiben, indem du den Unterstrich _ verwendest (SHIFT+"-"). - Um die Funktion zu definieren musst du einen Doppelpunkt vor dem "=" setzen. Also musst du schreiben: 2. Lasse dir den Term von anzeigen. - Benutze hierfür die rechte Seite der allgemeinen Gleichung . - Denke an den Doppelpunkt für die Definition! Willst du also um 2 nach oben verschieben, so tippst du: Möglichkeit 2: Tippe den Funktionsterm von ein und nutze die "Multipliziere"-Schaltfläche Toolbar Image. Beispiel: Der Graph von soll um 1 Einheit nach links verschoben werden. Die Funktionsgleichung zum neuen Graphen lautet dann: Tippe in die Eingabezeile und klicke anschließend die Toolbar Image Schaltfläche bzw. gib den Befehl "Multipliziere( )" ein und schreibe den Term in die Klammern.
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Aufgabe 3: Hilfsmittel - GeoGebra (Algebra und Grafik)

Decke immer nur einen Hinweis auf und überlege dann erneut, wie du die Aufgabe lösen kannst!
Zusatzaufgabe: Durch die Umformung der Gleichung zu führst du das Problem auf einen bekannten Aufgabentyp zurück, nämlich die Nullstellenberechnung. Erkläre anhand des Graphen von unter Einbeziehung der beiden Gleichungen oben, wie es zur Rückführung auf die bekannte Problemstellung kommt.
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Aufgabe 4): Hilfsmittel -- GeoGebra (Algebra, Tabellen, Grafik)

Hinweis zu a) Benutze die Tabellenfunktion von GeoGebra. Tippe zunächst die Werte ein (Setze Jan = 0, Feb = 1, ...). Die 1. Zeile entspricht dann den Monaten, die 2. Zeile den Temperaturen. Markiere anschließend alle Werte und benutze die "Polygonzug"-Schaltfläche Toolbar Image, um das Klimadiagramm zu erhalten. Hinweis zu b) Die Punkte , und liegen auf dem Graphen. Stichwort: Gleichungssystem! Um deine Lösung zu überprüfen, kannst du eine GeoGebra Funktion verwenden. Tippe den Befehl "Polynom( )" ein und schreibe in die Klammer die Punkte für April, Juli und Oktober (normalerweise: D, G und J) mit Komma getrennt. Hinweis zu c) - Überlege dir, wie groß die Amplitude und die Periodendauer sind. - Die Amplitude ist die Auslenkung nach oben und unten. Damit kommst du auch leicht auf die Verschiebung in y-Richtung! - Die Verschiebung in x-Richtung kannst du bestimmen, indem du dir überlegst, an welcher Stelle die "erste" Nullstelle der Sinusfunktion sich befindet. Diesen Wert muss das Argument der Sinusfunktion annehmen. Zur Überprüfung gibt des die GeoGebra Funktion "TrendSin( )". Tippe auch hier einfach einige Punkte ein, jedoch minimal 4 (Warum? ;-) ). Hinweis zu e) Mache dir klar, wie der Temperaturverlauf eigentlich weitergehen muss (, , ...) und vergleiche deine Überlegungen mit den Graphen von und . Was stellst du fest? Zusatzaufgabe: Überlege dir, wie man die Funktion auch für das Jahr 2018 (2019, 2020, ...) als Näherung verwenden könnte.
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Du hast das Kapitel "Verschieben von Funktionsgraphen" nun abgeschlossen! Gut gemacht :)

Solltest du schon fertig sein, aber noch Zeit haben, dann bearbeite folgende Aufgaben im Buch: S. 129/2 S. 129/5 S. 131/13 Zum Knobeln: S. 131/11

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