Didaktische Bemerkungen für Lehrer
- Autor:
- eckerts
Vorbemerkung
Inden klassischen Unterrichtseinheiten zu den Exponentialfunktionen
wird für die Schüler oft nicht wirklich transparent, wieso man
ständig die "seltsame" Basis e verwendet.
Dievorliegenden Materialien sollen ermöglichen, diese Frage im
Unterricht zum Thema zu machen, ohne allzu viel Zeit dafür aufwenden
zu müssen. Aus diesem Grund sind die Materialien vorwiegend nicht
zum selbstständigen Erarbeiten gedacht sondern eignen sich am besten
dafür, im Rahmen eines Lehrervortrags vorgeführt zu werden. Die
interaktiven Arbeitsblätter sind dennoch so formuliert, dass sie
sich an den Schüler wenden. Somit sind sie auch als
Differenzierungsmaterial für starke Schüler verwendbar, die sich
das Thema selbstständig erarbeiten wollen.
Erforderliches Vorwissen
DieSchüler sollten Exponentielles Wachstum bereits aus früheren
Schuljahren kennen. Auch die Exponentialfunktionen der Form f(x) = b
ax solltenbereits bekannt sein: Die Schüler sollten wissen, wie der Graph
verläuft und welche Auswirkungen die beiden Parameter a und b auf
den Verlauf haben.
Verlauf
Schritt1:
WeitereMöglichkeiten kennen lernen, wie Exponentialfunktionen mit
Parametern modifiziert werden können
Fürdiesen Teil ist es sinnvoll, vorher die Zusammenfassung
Zusammenfassung _Exponentialfunktionen.doc auzuteilen.
MitHilfe der GeoGebra-Dateien im Kapitel 2 werden zunächst die bereits bekannten Modifikationen (Änderung der
Basis, vertikale Streckung und Verschiebung des Graphen) vorgeführt.
Dann folgen horzizontale Verschiebung und Streckung und evtl. die
Kombination aus allen Aspekten.
EineVerknüpfung mit Vorwissen aus dem Bereich der Quadratischen
Funktionen ist dabei außer bei der horizontalen Streckung möglich.
Schritt2:
Erkennen,dass man jede beliebige Exponentialfunktion mit einer einzigen fest
vorgegebenen Basis darstellen kann.
DieserSchritt kann wahlweise im Lerhrervortrag oder von den Schülern in
Eigenarbeit mit Hilfe des interaktiven Arbeitsblatts
7_feste_Basis.htm ausdem Ordner Modifizierte_Expfktvollzogen werden.
Allenotwendigen Informationen sind im interaktiven Arbeitsblatt zu
finden.
Schritt3:
Erkennen,dass die Ableitung einer Exponentialfunktion wieder eine
Exponentialfunktion ist
Durchdiesen Schritt führt das interaktive Arbeitsblatt
Exp_Funktion_Ableitung.htm.
Mitgrafischen Mitteln werden die Ableitungsfunktionen von
Exponentialfunktionen gebildet. Dabei wird deutlich, dass für f(x) =
ax gilt:f'(x) = b*ax.Der Streckfaktor b wird grafisch bestimmt.
Schritt4:
DieEulersche Zahl als diejenige Basis bei der gilt: f'(x) = f(x)
Durchdiesen Schritt führt das interaktive Arbeitsblatt
natuerliche_Exp_Funktion.htm.
Durchgezieltes Probieren mit den Mitteln aus Schritt 3 wird diejenige
Basis bestimmt, für die der Streckfaktor b (s. Schritt 3) der
Ableitung 1 ist, das heißt, für die Funktion und Ableitungsfunktion
identisch sind.
Schritt5:
Zusammenführung
FolgendeErkenntnisse werden abschließend im Lehrervortrag zusammengeführt:
- Eine Exponentialfunktion der Form f(x) = ax ist schwierig abzuleiten. Wir müssten das über den Differenzialqoutienten tun.
- Eine Exponentialfunktion mit Basis e ist leicht abzuleiten (f ' = f). Selbst wenn sie mit Parametern modifiziert wurde, geht es mit Hilfe der Kettenregel noch recht einfach.
- Jede Exponentialfunktion lässt sich mit der Basis e darstellen.
- Da liegt es nahe, nur noch mit Funktionen zur Basis e zu arbeiten, sobald eine Ableitung benötigt wird. Hierin liegt die große Bedeutung der e-Funktionen.