irrationalité de racine de p/q
- Auteur :
- Christian Mercat
- Thème :
- Racine
Le format A4 est défini par un rapport des largeurs et longueurs de √2. C'est-à-dire qu'un demi A4, une feuille A5, a la même forme, qu'on obtient en pliant un A4 en deux.
En incluant un A5 dans un A4 selon la même direction, dans un coin, il apparait un rectangle diagonal de même forme et strictement plus petit que le A5.
De la même manière, le nombre √(p/q) est défini par le fait qu'un rectangle dont les côtés sont dans ce rapport peut-être plié p fois dans un sens et q fois dans l'autre, en petits rectangles de même forme.
Si N est la partie entière de √(pq), on peut placer N fois cette bande le long de la diagonale. Quand √(pq) n'est pas entier, il reste un rectangle (orange) de même forme strictement plus petit.
Si les mesures des côtés du petit rectangle sont entiers, celles du petit rectangle orange le sont également. C'est une contradiction car ils sont strictement plus petits et le processus peut être répété. Par conséquent √(p/q) est soit irrationnel (dans le cas où le rectangle orange existe), soit √p et √q sont tous deux entiers.