Contando cuadrados
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Aritmética y cálculo mental.
El ajedrez es uno de los juegos de mesa más populares del mundo. El tablero de juego, conocido como damero (porque sobre él también se juega a las damas), es un cuadrado dividido en 64 casillas cuadradas (escaques) pintadas alternativamente de dos colores.
Centremos la atención en ese damero, una gran cuadrícula de 8 casillas de lado. Si observas la cuadrícula con un poco de atención, te darás cuenta que podemos encontrar muchos cuadrados en su interior. Apreciándola en conjunto, tenemos un gran cuadrado de 8x8 = 64 casillas. Entrando más en detalle, podemos distinguir 64 cuadraditos pequeños de 1x1 = 1 casilla. Pero también podemos reconocer cuadrados de 2x2 = 4 casillas, de 3x3 = 9 casillas, etc.
¿Serías capaz de contar todos los cuadrados, formados por casillas enteras, que podemos encontrar en el damero?
Al abordar una investigación son fundamentales dos cosas: actuar con método, es decir, de manera sistemática, y llevar un registro adecuado de los datos que vamos encontrando. De no seguir estas recomendaciones, nos puede resultar muy difícil sacar conclusiones aceptables del trabajo realizado.
En la aplicación tienes un tablero de 8x8 casillas, como el del ajedrez. También tienes 8 cuadrados de diferentes tamaños (desde el más pequeño, de 1x1, al mayor, de 8x8), que pueden desplazarse moviendo el punto situado en su zona central. De ese modo puedes llevarlos encima de la cuadrícula y ayudarte de
ellos para hacer tus cuentas.
Además dispones de la hoja de cálculo para que puedas hacer las anotaciones necesarias para llevar el registro de tu trabajo.
1. Empieza por lo más fácil: estudia algunos casos particulares más sencillos. Puedes comenzar por los cuadrados más pequeños que puedes formar o, justamente al contrario, por los más grandes. Ayúdate de los cuadrados que tienes en la aplicación: superponiéndolos a la cuadrícula pueden ayudarte a hacer el recuento.
2. Construye una tabla (utiliza la hoja de cálculo) con los resultados que vas encontrando. Cuando hayas estudiado unos cuantos casos, analiza la tabla: trata de encontrar alguna regla, alguna regularidad en ella. ¿Sabrías seguir completándola? Inténtalo: haz tu propia conjetura.
3. Comprueba tu conjetura con la aplicación. ¿Es el resultado que habías anticipado? Si la respuesta es afirmativa, enhorabuena, estás ya cerca de la solución. Si no era el resultado esperado, vuelve a revisar la tabla y haz una nueva conjetura. Repite el proceso hasta que tus resultados queden contrastados con los que te confirma la aplicación.
4. ¿Cuántos cuadrados se pueden formar en la cuadrícula de 8x8?
5. Intenta generalizar la solución que has encontrado. ¿Cómo podríamos encontrar el número de cuadrados que podemos formar en una cuadrícula de NxN casillas?
6. Elabora un breve informe sobre la investigación que has realizado, en el que debe quedar reflejado el enunciado del problema, el proceso seguido durante la investigación y los resultados obtenidos.
Autor de la construcción y la actividad: Rafael Losada Liste.
Esta actividad está presente en el Proyecto Gauss