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Hauteur de l'un, médiane de l'autre

Deux demi-carrés autour d'un triangle ABC

ABC est un triangle quelconque. On construit extérieurement à ce triangle les triangles rectangles isocèles ACQ et ABR, rectangles en À les milieux des hypoténuses sont   et . On construit aussi le parallélogramme AQKR de centre J. Montrer que la droite (AJ) est une hauteur du triangle ABC et que AK = BC.

Démonstration

Un triangle, deux demi-carrés autour du triangle : une configuration d'une grande richesse pouvant être traités aux trois niveaux du lycée. La rotation de centre A et d'angle 90° transforme C en Q. La translation de vecteur AR transforme Q en K. La composée de ces deux transformations transforme C en K, A en R. C'est une rotation d'angle 90° ; son centre est . B a donc pour image A ; [BC] a pour image [AK] ; d'où BC = AK et (BC) est perpendiculaire à (AK). Donc (AK) passe par le milieu du parallélogramme AQKR, c'est la médiane (AJ) de AQR,  (AK) perpendiculaire à (BC) est aussi la hauteur de ABC. Deux carrés autour d'un triangle - hauteurs - médianes       Médiane de l'un, hauteur de l'autre Descartes et les Mathématiques - Deux demi-carrés autour de BOA