Kugel-Gärten

Ellipsen auf der Kugel?

In Anbetracht der Tatsache, dass unser Planet eher die Form einer Kugel als, wie früher behauptet, die einer Scheibe oder gar die einer Ebene besitzt, sollten wir elliptische Blumenbeete theoretisch eher als Ovale auf der Kugel als solche auf der Ebene untersuchen. Gärtner wären wahrscheinlich ein wenig verunsichert, wenn sie erführen, dass ihre Blumenbeet-Ränder Kurven 4. Ordnung sind. Aber keine Sorge, bei den relativ geringfügigen Ausmaßen irdischer Blumenbeete unterscheiden sich diese kaum von elliptischen Beeten auf der Tangentialebene, sofern dort euklidische Verhältnisse herrschen. Außerdem führt die flache Denkweise überraschenderweise auch auf der Kugel zum Ziel!

• Auf der Kugel sind PUNKTE die Schnittpunkte der Geraden durch den Mittelpunkt mit der Kugel: die zwei gegenüberliegenden Kugelpunkte werden also als ein PUNKT betrachtet. Man kann die PUNKTE durch die Akupunkturnadeln, welche durch den Mittelpunkt der Kugel gehen, kennzeichnen.
• Auf der Kugel sind GERADEN die Großkreise: sie entstehen als Schnitt der Ebenen durch den Mittelpunkt mit der Kugel.
• Zwei PUNKTE lassen sich durch eine GERADE verbinden: man nehme die Ebene durch die PUNKTE und den Mittelpunkt.
• Zu zwei verschiedenen PUNKTEN gibt es einen/zwei MittelPUNKT(E): man nehme eine der beiden Winkel-Halbierenden der Mittelpunktsgeraden und den entstehenden PUNKT. Eigentlich gibt es zwei MittelPUNKTE, und diese sind ORTHOGONAL, wie das bei Winkelhalbierenden so üblich ist. In der elliptischen Ebene können zwei Punkte tatsächlich ORTHOGONAL sein: ihr ABSTAND beträgt dann !
• KREISE entstehen als Schnitt der Kugel mit Ebenen, die nicht durch den Mittelpunkt gehen.
• Jeder KREIS besitzt einen MITTELPUNKT: man nehme die Normale der Ebene, die durch den Mittelpunkt geht.
• Zu zwei PUNKTEN gibt es zwei MITTELSENKRECHTE: das sind die Grosskreise, die durch die MITTELPUNKTE der beiden PUNKTE gehen und die jeweils orthogonal zur VerbindungsGERADEN sind. Die Winkelsumme im entstehenden Dreieck beträgt dann 270°.
• Als ABSTAND zweier PUNKTE dient der Mittelpunktswinkel der zugehörigen Mittelpunktsgeraden.

Konstruktion der KugelELLIPSE: Gegeben sind zwei BrennPUNKTE F₁, F₂ auf der Kugel und ein weiterer PUNKT R. Der KREIS um F₂ durch R diene als LEITKREIS, R legt den RADIUS fest. Ein beweglicher PUNKT P auf dem LEITKREIS erzeugt die ELLIPSE: Man wähle eine der MITTELSENKRECHTEN von P und F₁. Diese wird von der BRENNGERADEN F₂P in dem PUNKT Q der ELLIPSE geschnitten. Die gewählte MITTELSENKRECHTE von P und F₁ ist WINKELHALBIERENDE der beiden BRENNGERADEN durch Q. Dies ist die elliptische Gärtnerkonstruktion. Die MITTELSENKRECHTE ist zugleich die TANGENTE der ELLIPSE. Im Applet lassen sich die Brennpunkte F₁, F₂ und die Punkte R und P auf der Kugel bewegen. R bestimmt den Leitkreisradius, P bewegt sich auf dem Leitkreis. Die Konstruktion ist mit den vorhandenen Gegebra-Werkzeugen erfolgt und ließe sich im Prinzip nachbauen. Leider verliert Gegebra bei der Konstruktion der Ortskurven auf der Kugel aus unbekannten Gründen manchmal den Faden und zeichnet die Ortskurve unvollständig. Daher wird zur Vervollständigung bei der Bewegung des Leitpunktes die Spur des Kurvenpunktes gezeichnet. Die Spur kann durch kurzes Zoomen gelöscht werden. Wir würden gerne die Kugel auch von Innen her betrachten - es gelingt aber durch Hinein-Zoomen nicht unbedingt. Verlorenen Überblick kann man erfreulicherweise durch den Refresh-Knopf wiederherstellen. Dieses Arbeitsblatt ist Teil des Geogebrabooks Kegelschnitt-Werkzeuge