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Ein besonderes Dreiecksnetz

Tekijä:Walter Füchte

Diese Seite ist April 2018 erstellt, verbesserte Fassung 2019 Das Sechseck kann bewegt werden, falls das Chaos (siehe auch das Lob an GeoGebra ganz unten!) entgleist, hilft der refresh-Knopf!

Dieses Arbeitsblatt ist Teil des GeoGebra-books Sechsecknetze.(April 2018) Diese Seite ist inzwischen auch Teil des GeoGebra-Books Moebiusebene (Juli 2019)

"Über ein besonderes Dreiecksnetz aus Kreisen" ist ein Artikel von Walter Wunderlich betitelt (1938 siehe auch die Literaturangabe auf der Seite "Ein besonderes Dreiecksnetz" im geogebra-book moebiusebene). Wir wollen die Kurven-Netze, die in der Literatur oft als Dreiecksnetze bezeichnet werden, weiterhin 6-Ecknetze nennen. Die Kurven dreier Kurvenscharen erzeugen einzeln trivialerweise Dreiecke, falls sie sich nicht in einem Punkt schneiden oder berühren. Wesentlich ist an den hier untersuchten Netzen, dass sich die Sechseck-Figur, die man um einen Punkt P0 wie im Applet bilden kann, schließt! Das oben angezeigte 6-Ecknetz ist ganz besonders "sensibel": die Gründe liegen in der komplizierten Konstruktion. 2-teilige bizirkulare Quartiken besitzen 4 paarweise orthogonale Symmetriekreise. Mit einer geeigneten Möbiustransformation kann man sie stets symmetrisch zu den Achsen und zum Einheitskreis darstellen. Der 4. Symmetriekreis ist imaginär. Die Gleichung der oben konstruierten 2-teiligen Quartik lautet
  • , wobei die Brennpunkte und die Scheitel auf der -Achse festlegen.
Die Quartik besitzt 4 Scharen doppelt-berührender Kreise (im Applet oben als DB-Kreise bezeichnet) - zu jeder Symmetrie gehört eine Schar. Die -achsensymmetrischen Kreise liegen im "Inneren" der Kurve, auf derselben Seite wie die Brennpunkte, die übrigen Kreise liegen im "Äußeren". Durch jeden Punkt im "Äußeren" gehen 6 Kreise aus den verbleibenden 3 Scharen. Manche dieser Kreise berühren die Quartik in nicht-reellen Punkten. Wählt man 3 der DB-Kreise durch einen Punkt und deren Nachbarkreise aus verschiedenen Scharen, so entsteht ein 6-Ecknetz! Ein Bild von solchen Netzen haben wir original nur in dem Artikel von Wunderlich gesehen (Damals gab es noch keine Geometrie-Software, nur Zirkel und Lineal!) Grundlage der obigen Konstruktion ist eine einfache, aber zentrale Eigenschaft der doppelt-berührenden Kreise: Wählt man einen der Brennpukte aus, so liegen dessen Spiegelbilder bezüglich der doppelt-berührenden Kreise auf zur -Achse symmetrischen Kreisen - den Leitkreisen; ein Spezialfall dieser Eigenschaft liegt bei Kegelschnitten vor. Nach der Vorgabe der Brennpunkte und der Scheitel, und damit der Scheitelkreise, kann man die Leitkreise konstruieren. Mit diesen Leitkreisen kann man nun wieder die doppelt-berührenden Kreise, die Berührpunkte und somit die Quartik als Ortskurve "konstruieren". Um doppelt-berührende Kreise durch einen Punkt im Äußeren zu konstruieren, sind mitunter 5 oder mehr Kreise und/oder Geraden notwendig. Nur wenige davon werden oben schwach angezeigt. Die Konstruktion ist daher nicht nur aus diesen Gründen im wahrsten Sinne des Wortes "komplex". Schnittpunkte von Kreisen sind Lösungen quadratischer Gleichungen und können komplex sein. GeToolbar ImageGebra reagiert auf die Winkel in komplexen Ausdrücken oft mit plötzlichen Wechseln von auf oder (Nachtrag 2019: die Einstellung auf "kontinuierlich" haben das Problem entschärft!). Das kann zur Folge haben, dass in dem Sechseck plötzlich zu einem nicht mehr benachbarten doppelt-berührenden Kreis gewechselt wird. Dieses Phänomen zeigen auch die Kreisballette. Nachtrag 2019: der Wechsel auf die erweiterte Eigenschaft "Kontinuität" hat allerdings zur Folge, dass der Punkt P_1 mehrere Male den Kreis durch P_0 durchlaufen muss, bis alle Punkte des 6-Ecks wieder in der Nähe sind und das 6-Eck zu erkennen ist! Zu bizirkularen Quartiken, Leitkreisen etc. siehe auch unser GeoGebrabook Kegelschnitt-Werkzeuge. Es ist nahezu unvorstellbar, dass sich bei einer Bewegung der Figur nach einer schier endlosen Anzahl von komplexen Berechnungen gegen Ende wieder die Ordnung vom Anfang einstellt: eigentlich müßte eine einzige fehlerhafte Schnittpunktsberechnung das Chaos auslösen. Ein Lob auf GeoGebra!

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