Pliage de Cercle
Exemple tiré de Inclassables Mathématiques 2.0 d'Olivier Leguay
Concerne le pliage d'un cercle
http://www.inclassablesmathematiques.fr/archive/2014/04/24/pliage-de-cercle-5354726.html.
Soit un cercle (C) de centre O.
O' un point quelconque à l’intérieur de (C)
OE' un rayon quelconque de (C)
Δ la médiatrice de O'E'
Il s'agit de plier (C) de telle sorte que le point E' vienne coïncider avec O'.
Remarque: Δ, médiatrice de O'E' constitue le pli.
L'enveloppe des différents plis est l'ellipse (Ω) de foyer O et O'
Dans cette construction nous disposons de trois "poignées":
La poignée C qui permet de modifier le rayon du cercle (C). Observer ce qui se produit quand O' sort de (C).
La poignée O' qui permet de déplacer O' dans le plan du cercle (C) (intérieur et extérieur)
La poignée E' qui permet, en déplaçant E' sur (C), de visualiser le lieu géométrique de E.
Le lieu géométrique de E est l'ellipse (Ω) de foyers O et O'
(Ω) est aussi enveloppe de la médiatrice Δ
Démonstration:
Le lieu de E est l'ellipse (Ω) :
Soit r la longueur du rayon de (C).
(1) OE' coupant la médiatrice de O'E' en E ⇒ EE' = EO'.
(2)|OE|+|EE'|= r . En remplaçant EE' par EO' d'après (1) ⇒ |OE|+|EO'| = r = constante
Le point E appartient donc à l'ellipse (Ω) de foyers O et O' .
(Ω) est enveloppe de Δ:
Le point E appartient à l'ellipse (Ω) et à la droite Δ.
Δ ne peut être que sécante ou tangente à (Ω).
Si Δ est une sécante à (Ω) en E et E" par exemple, dans le triangle OE"E' la relation |OE"|+|E"E'| > OE' est vérifiée ⇒ |OE"|+|E"E'| ≠ r ⇒ E" ∉ (Ω)
Donc Δ est tangente à (Ω) ≡ (Ω) est enveloppe de Δ pour tout E ∈ (Ω)
(C) est appelé cercle directeur de l'ellipse (Ω)