Ellipse d'Euler
Soit ABC un triangle acutangle, ni rectangle, ni équilatéral.
L'ellipse d'Euler est une conique, tangente aux trois côtés d'un triangle, ayant pour foyers l'orthocentre H et le centre du cercle circonscrit O.
Considérons la conique de foyer H et de cercle directeur le cercle circonscrit au triangle ABC, de centre O. Puisque les hauteurs (AH), (BH) et (CH) coupent ce cercle en des points A2, B2 et C2 symétriques de H respectivement par rapport aux côtés (BC), (AC) et (AB), ces trois points permettent de construire les points de la conique en lesquels les côtés du triangle seront tangents à la conique.
On construit ainsi E1 intersection de (OA2) et (BC), de même E2, puis E3. Puisque Ω, le centre du cercle d'Euler, est le milieu entre les deux foyers O et H, c'est le centre de la conique, on peut donc construire deux autres points de la conique E’1 et E’2, symétriques de E1 et E2 par rapport à Ω, et ainsi construire la conique avec cinq points.
Elle est donc tritangente en E1, E2 et E3 aux côtés du triangle. Elle a pour cercle principal, l'homothétique du cercle circonscrit par l'homothétie de centre H et de rapport , soit, le cercle d'Euler.
Remarque : avec GeoGebra, la construction d'une conique à centre est faite en désignant les deux foyers et un point E1. Il est aussi possible d'utiliser les cinq points E1, E2, E3, E’1 et E’2.
Voir aussi : Construction du centre du cercle d'Euler
Descartes et les Mathématiques : Ellipse d'Euler