Der Fermatsche Punkt
- Autor:
- Andreas Lindner
Der Fermatsche Punkt ist jener Punkt, für den die Summe der Abstände zu den Eckpunkten des Dreiecks minimal wird.
Aufgabe
Versuche durch Bewegen des Punktes P jenen Punkt zu finden, an dem die Summe der Abstände zu den Eckpunkten möglichst klein ist!
Konstruktion des Fermat-Punkts
Über jeder Dreiecksseite a, b und c wird ein gleichseitiges Dreieck errichtet.
Verbindet man die neuen Dreieckspunkte A1, B1 und C1 mit den gegenüberliegenden Punkten, so ensteht im Schnittpunkt dieser Verbindungsstrecken der Fermat-Punkt F.
Beweis
Aufgabe
Stelle im unten gezeigten Applet den Winkel α auf 60°.
Dadurch werden die Punkte P und C in P' und C' gedreht; es entstehen zwei gleichseitige Dreiecke ACC' und APP'.
Die drei Abstände von P zu den Eckpunkten A, B und C sind , und sollen in Summe möglichst klein sein.
Wegen und entspricht der Länge des Streckenzugs .
Da die kürzeste Verbindung von B zu C' eine Gerade ist, muss der Fermatsche Punkt F auf dieser Geraden liegen.
Eine analoge Überlegung für die beiden anderen gleichseitigen Dreiecken zeigt, dass der Fermat-Punkt im Schnittpunkt dieser Verbindungsstrecken liegen muss.