FUNCIÓN RACIONAL. PROBLEMA DE APLICACIÓN
- Autor:
- Profra. Miriam Flores
Matemáticas IV, Unidad 2: Funciones Racionales y con Radicales.
Tema: Resolución de problemas con fenómenos de diversa índole (geométricos y físicos) susceptibles de modelarse a través de funciones racionales.
Aprendizajes: El alumno establecerá la regla de correspondencia de una función racional, asociada a un problema, con la cual lo resolverá, utilizando valores extremos, por medio de una aproximación numérica.
PROBLEMA DE APLICACIÓN
La experiencia de un contratista le dice que una cuadrilla de 12 trabajadores cava una zanja en 9 hrs. Le pide a uno de sus ayudantes que calcule las horas que tardarán en cavar esa zanja 6, 4 o 36 trabajadores, suponiendo que todos trabajan al mismo ritmo. También le pide que obtenga el número de trabajadores necesarios para hacer la zanja en 4.5, 1 o 36 horas.
Problema tomado de: Ramírez del Castillo, Carlos, et. al.; Matemáticas IV: Cuaderno de trabajo, México, Trillas, 2010. ISBN:978-607-17-0363-7.
SOLUCIÓN:
Con lo aprendido en los ejercicios realizados previamente sobre funciones racionales, procederemos a resolver el problema por medio del análisis que realizarás al responder en tu cuaderno las siguientes preguntas:
1)¿Qué ocurriría con el tiempo que tardan en cavar la zanja, si se reduce a la mitad el número de trabajadores?
2)¿Qué pasará con el tiempo si se reduce a la tercera parte el número de trabajadores?
3)¿Qué pasará con el tiempo que tardan, si se triplican el número de trabajadores?
4)¿Qué número de trabajadores será necesario si se quiere que el tiempo que tarden se reduzca a la mitad?
5)¿Cuántos trabajadores se necesitarán si se requiere que el tiempo de construcción se reduzca a la novena parte?
6)¿Qué número de trabajadores deben emplearse si se requiere que el tiempo de construcción se cuadruplique?
7)¿Cómo están relacionadas las variables “número de trabajadores” y “número de horas”?
Cuando dos variables se comportan en la forma que se relacionan las dos variables del problema, se dice que son inversamente proporcionales.
8)¿Cómo sería la mejor manera de organizar la información que da el problema?
9)¿Cuál es la variable que colocarías en el eje ?
10)¿Por qué?
11)¿Cuál es la variable que colocarías en el eje ?
12)¿Por qué?
Ahora que has analizado un poco el problema por medio de preguntas y respuestas, realiza en tu cuaderno una tabla de valores, asígnale los valores que consideres adecuados a y obtén sus respectivas parejas .
TABLA
Una vez que has completado la tabla, observa cómo se relacionan el número de trabajadores contra el tiempo que tardan en hacer la zanja.
13)¿Qué sucede si multiplicas los elementos de cada pareja de datos de la tabla?
14)¿Cuál es el resultado que siempre obtienes de hacer la multiplicación de número de trabajdores por número de horas?
15)Si representas a número de trabajadores con y número de horas con ¿Cuál será la expresión que relaciona las variables?
16)Ya que a cada valor de le corresponde un solo valor de ¿La expresión anterior convertida a función cómo la escribirías?
OBTENCIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS DE LA FUNCIÓN
17)¿Cuál es la restricción para las funciones racionales?
18)Por lo tanto ¿Cuál es la primera restricción para el valor de x?
19)Pero de acuerdo al contexto del problema ¿Qué representa x?
20)¿Tiene algún caso utilizar valores para x con signo negativo?
21)¿Por qué?
Como ya te diste cuenta, de acuerdo al contexto del problema, hay valores inadmisibles para , y lo cual repercute en los posibles resultados para .
22)¿Qué representa ?
23)Si se requiere que el trabajo se acabara en 10 horas exactas ¿Cuántos hombres tendrías que contratar?
24)¿Eso es posible?
25)¿Por qué?
Estás de acuerdo que también para , se debe tomar en cuenta el contexto del problema, y como te puedes percatar entonces, como depende de , entonces el posible resultado de también repercute y depende directamente del dominio.
26)¿Se puede hablar de un número negativo de trabajadores?
27)¿Tiene sentido contratar a cero trabajadores?
28)¿Tendrá sentido decir que se contratarán a 100,000 trabajadores?
29)¿Cuáles serían las restricciones para el dominio de la función? No olvides considerar el contexto del problema.
30)¿Ahora ya puedes establecer cuál será el dominio para el problema?
31)Expresa el dominio por medio de cualquiera de las formas vistas en clase (intervalo, por medio de paréntesis o corchetes, conjunto de elementos, por medio de llaves ó desigualdades, por medio de los símbolos >, <, ≤,≥)
ACTIVIDAD
Por medio de la aplicación que se te presenta en la ventana, la cual fue realizada con GeoGebra, explora la función racional que obtuviste para la realización de la zanja, y contesta las preguntas que se te plantean a continuación:
32)¿Qué puedes decir a cerca del rango?
33)¿Hay alguna restricción para el rango?
34)De la gráfica que aparece en pantalla ¿Cuál rama es la que representa gráficamente la función de acuerdo al contexto del problema?
¡¡ EXCELENTE TRABAJO !! ;)
No olvides discutir ésta tarea en clase.