Lösungen
Aufgabe #1
Zerlege einige selbst gewählte große Zahlen in Primfaktoren.
Aufgabe #2
Zahlen der Form enthalten nur die Ziffer 1 (Repunit-Zahlen).
Repunit ist ein Kofferwort aus den englischen Wörtern repeated (wiederholt) und unit (Einheit) und bezeichnet eine Zahl, die nur die Ziffer 1 enthält. Eine Repunit ist eine besondere Repdigit („Schnapszahl“); die Bezeichnung Repunit wurde 1966 von Albert H. Beiler geprägt. Im Deutschen wird auch die Bezeichnung Einserkolonne oder Einserschlange verwendet. Eine prime Repunit oder Repunit-Primzahl ist eine Repunit, die zugleich eine Primzahl ist.
a) Finde mindestens 3 Hochzahlen n, für die die Zahl eine Primzahl ist.Lösungsweg #1
Lösungsweg #2 (nach der Eingabe Kreis in Zeile 1 klicken für Schieberegler)
b) Wie sehen die Quadrate der Repunit-Zahlen aus?
Die Ziffern sind immer gespiegelt.
z.B.:
- 121
- 1234567901234567900987654320987654321
Aufgabe #3
Primzahlen der Form heißen Mersennesche Primzahlen. Eine Zahl der Formkann nur
dann prim sein, wenn die Hochzahl n eine Primzahl ist. Aber nicht für jede Primzahl n ist prim.
Mersenne-Zahlen wurden zuerst in der Antike im Zusammenhang mit vollkommenen Zahlen untersucht. Eine natürliche Zahl wird vollkommen genannt, wenn sie gleich der Summe ihrer echten Teiler ist (Beispiel: 6=1+2+3). Schon Euklid hatte gezeigt, dass die Zahl vollkommen ist, wenn eine Primzahl ist (n=2 liefert die Zahl 6). 2000 Jahre später wurde von Euler die Umkehrung für gerade vollkommene Zahlen gezeigt: jede gerade vollkommene Zahl ist von der Form , wobei eine Primzahl ist.
Ungerade vollkommene Zahlen sind bisher nicht gefunden worden, es konnte aber auch noch nicht bewiesen werden, dass es sie nicht gibt.
Finde einige Beispiele für Mersennesche Primzahlen.
Aufgabe #4
Finde einige Hochzahlen n, für die die Zahl keine Primzahl ist.
Aufgabe 5
Finde einige Hochzahlen n, für die die Zahl keine Primzahl ist.
Aufgabe #6
Zeige, dass die folgende siebzigstellige Zahl eine Primzahl ist:
1234567891234567891234567891234567891234567891234567891234567891234567