Aire minimale d'un triangle dans un rectangle
- Auteur :
- Debart Patrice
On considère un rectangle ABCD tel que AB = 5 et BC = 3.
On place les points M, N et P respectivement sur les segments ]AB[, ]BC[ et ]AD[ de telle sorte que les longueurs AM, BN et DP soient égales.
Il s'agit de déterminer la position du point M sur le segment [AB] pour que l'aire du triangle MNP, inscrit dans le rectangle, soit minimale.
Construction
- On affiche les axes.
- On construit le rectangle ABCD avec A et B sur (Ox) - Le point A a pour abscisse x(A).
- Puis on définit a = 1, et on affiche le curseur a ainsi défini, en indiquant dans ses propriétés Min = 0 et Max = 3.
- Avec a = AM = BN = DP, on crée le triangle avec les points M(x(A) + a, 0), N(x(A) + 5, a) et P(x(A), 3 - a), puis on nomme b le triangle MNP, GeoGebra renvoie son aire.
- On construit enfin le point L de coordonnées (a, b) dont on active la trace.
Conjecture
On peut dès lors faire varier a et conjecturer b = 3,5 pour a = 2.
Parabole avec GeoGebra
- En déplaçant le curseur a sur toute sa longueur, on observe que la trace semble être une branche de parabole. Pour effacer la trace du point L, cliquer sur « Réinitialiser la construction » ou appuyer simultanément sur les deux touches CTRL et F.
- Cocher la case parabole de recherche, saisir la fonction carré f(x) = x^2, et l'«amener » sur la trace par trouve la fonction f représentant l'aire.
- Cocher la case parabole solution : GeoGebra affiche alors la fonction (x - 2)² + 3,5 = x² - 4x + 7,5, ce qui permet de répondre à la question.