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三角形の極線の極線の秘密

三角形の極線上の点を極とする極線は、なぜ極Kを通る直線にならないのか?

Kを極とする三角形ABCに関する極線と内接楕円に関する極線は一致する。 その極線上の点を極とする楕円に関する極線はKを通るが、 三角形に関する極線はこの楕円に接する直線になる。 それはなぜか。 三角形に関する極線は、極Pの位置によって二次曲線が変化する。 Pについては、三角形ABCに内接する双曲線になり、 この双曲線に関する極線が元の楕円に内接する直線になる。 ちなみにどんな三角形でも自由に極を持つことができるが、四角形以上は外接多角形の場合だけで、しかも極は必然的に決まる。 それにしても、この図は不思議だと思う。 なぜ接線になるのだろうか?

三角形の極線と二次曲線のつながり

下図の調和点列について

三角形の各辺上の点は調和点列 BMCOについて  BICEについて  BMICについて  BP’CVについて    辺上の点を動かしてみよう。

Pの極線がHI。P’の極線がNO。DとEを動かしてみよう。