Moltiplicazione e similitudine
Moltiplicazione con moltiplicatore A e moltiplicando B. Circonferenza unitaria (centro 0 e raggio 1)
1) Esercizio sul prodotto di due punti nel piano:
dati A=(2.5,1.5) e B=(-1,0.5), determinare perp(B) e A*B.
Re1:
perp(B)=(-0.5,-1)
infatti : perp(x,y)=(-y,x)
Re2:
A = 2.5*1 + 1.5*i = 2.5*1 + 1.5*perp(1)
sostituendo B al posto di 1, abbiamo:
A*B = 2.5*B + 1.5*perp(B)
quindi: A*B = 2.5*(-1 + 0.5i) + 1.5*(-0.5-i) =
= -2.5 +1.25i -0.75 - 1.5i = -3.25 - 0.25i
2) Seguendo lo stesso procedimento i sopra, ma lasciando le variabili al posto dei numeri, si ha:
A = ( xA , yA ) , B = ( xB , yB ) ,
e quindi
perp(B) = ( -yB , xB ) = -yB + xB*i
e
A = xA*1 + yA*i = xA*1 + yA*perp(1)
sostituendo B al posto di 1, abbiamo:
A*B = xA*B + yA*perp(B)
quindi: A*B = xA*( xB + yB*i ) + yA*( -yB + xB*i )
= xA* xB + xA*yB*i - yA*yB + yA* xB*i
= xA* xB - yA*yB + ( xA*yB + yA* xB )*i
( per memorizzare, si può ricordare così:
la prima parte (orizzontale) - ovvero l'ascissa - di A*B è:
" primo per primo meno secondo per secondo "
mentre la seconda parte (verticale) - ovvero l'ordinata - di A*B è:
" primo per secondo più secondo per primo " ).
3) Casi particolari :
a) A=i=(0,1) , B=i=(0,1) ( quindi A*B = i*i = i2 ).
A*B ha per ascissa: 0*0 - 1*1 = 0 - 1 = -1
e ha per ordinata: 0*1 + 1*0 = 0 + 0 = 0 ;
quindi: i*i = (-1,0) = -1.
b) In generale A*i = perp(A).
Provalo per esercizio!
c) Vale la proprietà commutativa A*B = B*A.
Dimostra questa uguaglianza per esercizio!
d) Se B=Ā, dove Ā è il coniugato (simmetrico rispetto all'asse delle ascisse) di A, allora AB=AĀ sta sul semiasse non-negativo dell'asse delle ascisse.
Provalo per esercizio!
4) Quando il triangolo △(0,1,A) è isoscele nei lati 0_1 e 0_A (ossia quando A è a distanza 1 da 0), il triangolo △(0,B,AB) è isoscele nei lati 0_B e 0_AB (ossia B e AB stanno alla stessa distanza dall'origine). Quindi, quando A è a distanza 1 da 0 si ha che, prendendo B=Ā (ricorda che Ā è il coniugato di A, cha dista da 0 quanto ne dista A), B e AB=AĀ stanno alla stessa distanza dall'origine, ovvero Ā e AĀ stanno alla stessa distanza dall'origine, per cui AĀ dista da 0 quanto ne dista A (cioè una distanza pari a 1). Ma AĀ dev'essere sul semiasse non-negativo dell'asse delle ascisse, il che comporta che in tal caso AĀ=1.
In breve, A sta a distanza 1 da 0 quando AĀ=1.
Per l'equazione della circonferenza di centro 0 e raggio 1, indicata con C(0,1), vedi il file
www.geogebra.org/m/A3XXyyuu.