Problema de optimización nº 2
Queremos construir una caja (sin tapa), a partir de una cartulina cuadrada de 6 dm de lado, a la que se recortarán las esquinas. Hallar las dimensiones de las citadas esquinas para que el volumen de la caja sea máximo.
Observa la figura. Mueve el punto verde y observa los cambios:
- ¿Qué representa el punto rojo de la izquierda?
- ¿Qué relación hay entre sus coordenadas y el problema?
- ¿Qué punto de la gráfica resultante corresponderá a la solución del problema?
GUIÓN DE TRABAJO:
- Observa la figura. Si decidimos cortar cuadrados de 15 cm de lado en las esquinas de las láminas metálicas, determina las dimensiones y el volumen (en litros) que tendrá la caja que formaremos al doblar las pestañas.
- ¿Cómo cambiarían esas dimensiones si los cuadrados que cortamos son de 12 cm de lado?
- Si cortamos cuadrados más pequeños, ¿obtenemos necesariamente cajas de un volumen mayor? Explica tu respuesta
- Como la profesora Pérez quiere obtener cajas con el volumen más grande posible, ¿se te ocurre alguna manera de determinar la medida del cuadrado que cortaremos para lograr ese mayor volumen?
- Encuentra una expresión algebraica que permita conocer el volumen (en litros) de la caja a partir de su altura, es decir, del lado del cuadrado recortado (en dm).
- Construye una tabla de valores a partir de la fórmula obtenida.
- Observa la figura interactiva de debajo. Mueve el punto verde y comprueba si tienes errores en la tabla de valores.
- Explica el significado del punto rojo y su variación al mover el verde.
- Justifica o niega las siguientes afirmaciones, razonando tu respuesta. - El volumen de la caja aumenta y disminuye al incrementar la altura de la caja. - Es imposible hallar el volumen de una caja conociendo sólo una de sus tres dimensiones. - La relación entre la altura de una caja y su volumen es lineal.
- Vamos a representar gráficamente la función definida en la cuestión nº 5: haz clic derecho sobre el punto rojo y "activa la traza". Luego vuelve a mover el punto verde. Describe lo que ocurre.
- Cuál es el dominio de la función? ¿Por qué?
- ¿En qué punto se alcanza el valor más alto de la gráfica? Compruébalo mediante el deslizador de "Ver solución"
- Cómo será la tangente a la gráfica en ese punto? Compruébalo mediante el deslizador de "Ver tangente"
- ¿Cuál será el valor de su pendiente? ¿Qué relación tiene ese valor con la derivada de la función en ese punto?
- Toma la función definida en la cuestión 5 para el volumen y calcula su función derivada.
- Sustituye en ella la x por el valor dado para la solución. ¿Cuánto da?
- Resume tus conclusiones: ¿cómo se puede calcular el valor máximo o minimo de una función?