L'ellisse come luogo geometrico
Anche l'ellisse, come la circonferenza, è un luogo geometrico, cioè un insieme di punti che godono tutti della stessa proprietà. La proprietà dell'ellisse è un po' più complessa di quella della circonferenza.
Mentre nella circonferenza si fissava un punto, detto centro, nell'ellisse se ne fissano due; vengono chiamati fuochi dell'ellisse. Tutti i punti dell'ellisse hanno questa proprietà: per ogni punto la SOMMA delle sue distanze dai due fuochi è sempre la stessa.
Quindi se ho due fuochi e , i punti dell'ellisse sono tali per cui è uguale sempre allo stesso valore, caratteristico dell'ellisse, rappresentato dall'espressione :
Volendo proseguire l'analogia con la circonferenza, allo stesso modo in cui i fuochi sono il corrispondente del centro della circonferenza, è il corrispondente del raggio. Viene indicato con perchè, come vedremo, è il doppio di una caratteristica molto importante dell'ellisse.
Dato che i calcoli per determinare l'equazione di un'ellisse sono piuttosto complessi, considereremo un modo piuttosto semplice di disporre i fuochi:
- giacciono su uno degli assi cartesiani (nel nostro primo esempio sarà l'asse )
- sono simmetrici rispetto l'origine degli assi (possiamo anche dire che l'origine degli assi è il punto medio dei due fuochi); nel nostro primo esempio uno avrà coordinate e l'altro
Prima di fare i calcoli per trovare l'equazione dell'ellisse, studiamola meglio per imparare le sue caratteristiche.
Come abbiamo fatto per la circonferenza, per trovare l'equazione dell'ellisse partiamo dalla definizione: la somma di e di è uguale ad una costante, che sappiamo vale .
Le distanze si calcolano, come al solito, con il teorema di Pitagora, quindi la formula generale diventa:
Nel nostro caso semplice abbiamo che i fuochi sono sull'asse x, ed hanno coordinate e , la formula diventa quindi
I calcoli per giungere alla formula dell'ellisse sono piuttosto complessi ma si basano su un ragionamento logico chiaro. Li trovi di seguito, oppure puoi passare direttamente al paragrafo PRIMI ESEMPI E CONSIDERAZIONI.
Vogliamo eliminare le radici elevando entrambi i membri al quadrato; tuttavia essendocene due ed essendoci un terzo termine non è possibile isolarle entrambe. Portiamo una delle radici a secondo membro, in modo da ottenere un doppio prodotto il più semplice possibile.
Come dicevamo, a secondo membro dovremo svolgere un quadrato di binomio e quindi un doppio prodotto, ma perlomeno uno dei due termini è semplicemente e quindi i calcoli saranno un po' più semplici. Procediamo eliminando la radice a primo membro e svolgendo il quadrato di binomio al secondo.
Svolgendo i conti otteniamo
Semplifichiamo i termini che si cancellano ed isoliamo la radice che è comparsa dal doppio prodotto: la portiamo al primo membro e spostiamo a secondo membro tutto il resto:
Dividiamo tutto per poi eleviamo di nuovo entrambi i membri per eliminare definitivamente la radice
svolgiamo i conti
I due termini si cancellano; portiamo tutti i termini che contengono o a primo membro ed il resto al secondo.
Cerchiamo di evidenziare i termini analoghi: raccogliamo tra i primi due termini al primo membro e al secondo membro:
Notiamo che ad entrambi i membri appare l'espressione : studiamola un po', in particolare ci interesserà scoprire che è sempre positiva. Innanzitutto ricordiamoci del significato geometrico di e di osservando l'immagine qui sotto:
![[math]\textcolor{red}{2c}[/math] è la distanza tra i due fuochi ([color=#ff0000]linea rossa[/color]) mentre [math]\textcolor{blue}{2a}[/math] è la somma di [math]\overline{PF_1}[/math] e [math]\overline{PF_2}[/math] ([color=#0000ff]linea blu[/color]). Dato che in un triangolo (in questo caso [math]\overline{PF_1F_2}[/math]) [color=#0000ff]la somma di due lati[/color] è sempre maggiore del [color=#ff0000]terzo lato[/color], abbiamo che [math]\textcolor{blue}{2a}>\textcolor{red}{2c}[/math]. Un altro modo per intuire la stessa relazione è ricordare che [color=#ff0000]la linea retta[/color] è il tragitto più breve rispetto a [color=#0000ff]qualunque altro percorso[/color] per congiungere due punti, in questo caso i fuochi, quindi [math]\textcolor{red}{2c}<\textcolor{blue}{2a}[/math].](https://stage.geogebra.org/resource/bjevrup7/MxhAqcpEDjvuYAQf/material-bjevrup7.png)
Dalle considerazioni sulla figura ne deduciamo che , quindi , quindi . Riprendiamo ora l'espressione che era comparsa nei nostri calcoli, essa può essere scomposta in ; la prima parentesi è sempre positiva per quanto appena osservato, mentre la seconda lo è perchè somma di due distanze, quindi di due quantità positive.
Dato è una quantità positiva, la rappresentiamo come il quadrato di un numero, che chiamiamo : per ora ci serve per rendere più leggibile l'equazione che abbiamo trovato, vedremo che in realtà ha un ruolo essenziale nel definire la geometria dell'ellisse.
Introduciamo quindi , e usiamo la nuova lettera per riscrivere l'equazione trovata:
Dividendo infine tutto per , che ci permette di la struttura particolarmente semplice dell'equazione dell'ellisse:
Concludiamo notando che se nella relazione che abbiamo utilizzato per introdurre , , ricaviamo la lettera otteniamo
cioè la relazione Pitagorica presentata nel video introduttivo che lega tra loro i tre coefficienti dell'ellisse. In questa forma è forse più facile da ricordare: riveste il ruolo dell'ipotenusa, cioè il lato più lungo, ed infatti vedremo che in questo tipo di ellissi il semiasse orizzontale è il più lungo.
PRIMI ESEMPI E CONSIDERAZIONI
Abbiamo ricavato l'equazione di un'ellisse riferita agli assi, cioè i cui fuochi sono su uno degli assi cartesiani e sono simmetrici rispetto all'origine; questa forma dell'equazione è detta anche canonica. Abbiamo visto che essa segue questo modello:
In particolare l'abbiamo ottenuta nel caso in cui i fuochi siano sull'asse , vedremo poi cosa cambia e cosa resta identico nel caso in cui i fuochi siano sull'altro asse.
Nell'esempio che abbiamo fatto noi avevamo e , quindi l'equazione diventa:
A volte si eliminano le frazioni facendo il denominatore comune. In questo caso il denominatore comune è ed otteniamo
In questa forma vediamo che l'equazione di un'ellisse assomiglia a quella di una circonferenza, ma i coefficienti di e di non sono uguali tra loro, confermando che l'andamento lungo i due assi non è più lo stesso. Ovviamente per tornare indietro alla forma canonica basta dividere ad entrambi i membri per 225.
ESEMPIO
Trova i valori di , e dell'ellisse
Trovo innanzitutto la forma canonica dividendo per 36 (così a secondo membro mi resta 1, come nella forma canonica):
Da qui capisco che e . Per trovare uso la relazione pitagorica tra i tre coefficienti: quindi , da cui otteniamo che .
DALL'EQUAZIONE AL SIGNIFICATO DI a e b
Partendo dall'equazione canonica, si può verificare che e sono proprio le misure dei due semiassi dell'ellisse, come abbiamo detto all'inizio. Infatti se cerchiamo le intersezioni con l'asse delle troviamo:
Quindi l'ellisse incontra l'asse nei punti e .
Allo stesso modo si può verificare che l'ellisse incontra l'asse delle nei punti e ; disegnando l'ellisse e questi suoi punti di intersezione si vede che e sono effettivamente la metà delle due dimensioni dell'ellisse stessa.
I punti , , e sono chiamati vertici dell'ellisse, in quanto, come si può vedere visivamente, ne limitano l'estensione (sono i suoi "estremi" nelle quattro direzioni).
![L'asse orizzontale ha per estremi le due intersezioni [math]A_1[/math] ed [math]A_2[/math] con l'asse [math]x[/math], le cui si possono facilmente calcolare, e quindi misura [math]\textcolor{blue}{2a}[/math]. In modo analogo si ottiene che quello verticale ha per estremi [math]B_1[/math] ed [math]B_2[/math] e quindi misura [math]\textcolor{#007700}{2b}[/math].](https://stage.geogebra.org/resource/vkkm6tat/qiDDUTf5dCaHFCIu/material-vkkm6tat.png)
CONTROLLA SE HAI CAPITO: determina l'equazione dell'ellisse
Un'ellisse riferita agli assi ha l'asse maggiore lungo 6, quello minore è lungo 4. Trova i valori di a, b e c e quindi scegli l'equazione dell'ellisse corretta tra quelle qui sotto.
Sai che un'ellisse ha per fuochi i punti e . Il suo asse minore è lungo 4. Trova i valori di a, b e c e quindi scegli l'equazione dell'ellisse corretta tra quelle qui sotto.
L'ELLISSE CON I FUOCHI SULL'ASSE DELLE Y
Nel caso in cui i fuochi invece di essere sull'asse delle x giacciono su quello delle y, l'ellisse sarà "allungata" in direzione delle y invece che delle x.
Rifacendo tutti i calcoli*, ma ponendo le coordinate dei fuochi pari a e , si ottengono i seguenti risultati:
l'equazione dell'ellisse resta identica, cioè , cioè all'asse (ed alle intersezioni con esso) resta associato il parametro ed all'asse (ed alle relative intersezioni) il parametro
l'asse che "contiene" i fuochi sarà quello verticale, che quindi sarà il maggiore dei due, quindi in questa situazione si avrà che ed in particolare che il più grande tra i tre parametri non sarà più bensì ; si ottiene infatti una diversa relazione Pitagorica tra i tre, in cui il ruolo dell'ipotenusa è svolto da
* per avere dei risultati con le lettere coerenti nel loro significato si dovrebbe porre , in questo caso. Se qualcuno vuole provare è benvenuta/o e possiamo riparlarne a lezione.
DAL GRAFICO ALL'EQUAZIONE
Vogliamo costruire un'ellisse che sia contenuta nel rettangolo mostrato in figura.
- I suoi fuochi sono sull'asse y o sull'asse x?
- Quindi il suo semiasse maggiore è a oppure b? quanto misura?
- E il suo semiasse minore?