Forma h-k de la función cuadrática.
Formulación algebráica
La forma general de la función cuadrática
Se puede expresar como,
a trávez de un procedimiento conocido como completar cuadrados. A esta forma se denomina forma h-k de la ecuación cuadrática.
El procedimiento algebráico para obtener la forma h-k de la ecuación cuadrática es el siguiente:
Primero se factoriza A en los dos términos de x,
,
ahora se quiere completar el cuadrado en el término que está entre paréntesis por lo tanto sumo y resto ,
.
Los tres primeros términos del paréntesis ya forman un binomio cuadrado perfecto, pero estorba el cuarto término entre paréntesis, se multiplica por A y se coloca afuera del paréntesis,
,
en la última expresión, el paréntesis es un binomio cuadrado perfecto, factorizando se obtiene,
,
finalmente se renombra a las variables,
donde y .
Gráficas con la forma h-k
La forma cuadrática h-k ofrece mucha información. La siguientes figuras muestran que sucede con el cambio de los parámetros.
La figura 1 muestra cómo cambia la parábola cuando cambia A (h y k permanecen constantes en los valores de h=-1 y k=1). Observe que para A>0, la parábola abre hacia arriba. Por otra parte si A<0, la parábola abre hacia abajo.
La figura 2 muestra los cambios de la parábola cuando cambia h, (en este ejemplo A y k permaneces constantes con A=1 y k=1). En este caso se observa que los cambios en h desplazan a la parábola horizontalmente.
La figura 3 muestra los cambios de la parábola cuando cambia k, (con A=1 y h=-1). Observe que en este caso la parábola se desplaza verticalmente.
Además de esta información la forma h-k nos indica en donde se encuentra el vértice de la parábola. Observe que el vértice siempre se encuentra en el punto,
Si la parábola abre hacia arriba, A>0, entonces el vértice es el punto mínimo de la parábola. Si la parábola abre hacia abajo, A<0, entonces el vértice se encuentra en el máximo punto que alcanza la parábola.
figura 1. Cambios en A.
Figura 2. Cambios de h
Figura 3. Cambios en k.
Considere la parábola . a) ¿Como abre dicha parábola? b) ¿En donde se encuentra el vértice?
Actividad
En el siguiente applet puede introducir los valores de A, h y k . Intente contestar las siguientes preguntas con verdadero o falso.
¿El máximo (el punto más alto en el eje y) de una parábola que abre hacia abajo se encuentra en el vértice?
¿El mínimo (el punto más alto en el eje y) de una parábola que abre hacia arriba se encuentra en el vértice?
¿Donde se encuentra el máximo de la parábola ?
¿Donde se encuentra el mínimo de la parábola ?