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Le funzioni continue

Autor:Ilic Ferretti
Il concetto di limite permette di definire una proprietà molto importante delle funzioni, detta continuità. Una funzione si dice continua nel punto se ovvero se quando i valori di input si avvicinano ad , le corrispondenti immagini si avvicinano sempre più ad , cioè al risultato che la funzione effettivamente ha nel punto considerato .
Derivando dal limite, che si occupa di descrivere la funzione in un intorno di un punto, anche la continuità è una proprietà innanzitutto locale, che quindi riguarda solo un punto ed il suo intorno. Una funzione però può essere continua nell'intervallo , se è continua in tutti i punti di quell'intervallo. Una funzione che è continua per qualsiasi valore reale a volte per brevità si dice semplicemente che è continua tout court, anche se è sempre bene specificare per quali punti vale questa proprietà. FUNZIONI CONTINUE E DISCONTINUE La maggior parte delle funzioni che conosciamo è continua. Esiste una serie di teoremi per dimostrarlo, che si basano sullo studio delle funzioni elementari e delle loro combinazioni. Dato che la definizione di continuità è un limite, partendo dalla verifica formale dei limiti di dimostra che
  1. la funzione e la funzione costante sono continue.
  2. la somma o la differenza di due o più funzioni continue genera una funzione continua, perciò ad esempio è continua perché è la somma di due funzioni dei tipi considerati al punto 1)
  3. il prodotto di due o più funzioni continue è una funzione continua, perciò la funzione è continua. Per il punto 2 ne concludiamo che anche è continua perché somma (punto 2) di prodotti di funzioni continue.
Con questi primi tre punti abbiamo concluso che tutte le funzioni polinomiali sono continue. Si estende poi la dimostrazione alle funzioni trascendenti (esponenziali, seno, coseno, etc.), ottenendo così una vasta varietà di funzioni che possiamo considerare continue. Notiamo tuttavia che non abbiamo incluso la divisione tra le possibili operazioni che combinando funzioni continue generano una nuova funzione altrettanto continua. Se infatti consideriamo la funzione essa non esiste nel punto e quindi nel punto non può essere continua, dato che non esiste . Il punto si dice in questo caso punto di discontinuità della funzione. Vediamo nell'animazione qui sotto i vari casi in cui la condizione di continuità può NON essere soddisfatta, ed i vari tipi di DISCONTINUITÀ che ne derivano.
Riportiamo qui sotto a titolo riassuntivo la definizione di continuità e consideriamo i vari casi in cui NON è soddisfatta, cioè in cui la funzione NON è continua; da ognuno dei quali si definisce una tipologia di discontinuità. I possibili casi in cui questa uguaglianza NON è rispettata sono:
  1. non esiste , cioè la funzione non ha risultato in - cioè NON appartiene al dominio della funzione.
  2. non esiste , oppure esiste ma non è un valore finito. Infatti se il limite è o esso non potrà mai essere uguale ad , che per forza è un numero finito.
  3. esistono entrambi i valori, ma non sono uguali tra loro.
Queste tre possibilità si combinano generando le varie tipologie di discontinuità, come riportato nello schema riassuntivo che puoi visualizzare e scaricare qui sotto.

Funzioni continue e varie tipologie di discontinuità

Funzioni continue.pdf

Funzioni continue.pdf

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