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Die Leit-Kreis-Konstruktion

Autor:Walter Füchte
 Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books Elliptische Funktionen & Bizirkulare Quartiken & ... (05.08.2023)

Ein Versuch, die Leit-Kreis-Konstruktion für bizirkulare Quartiken zu begründen

Bizirkulare Quartiken sind möbiusgeometrisch einfach zu charakterisieren: Diese Quartiken besitzen 4 Brennpunkte, zusammenfallende inbegriffen.
 (1) 4 konzyklische , paarweise verschiedenen Brennpunkte. Die Quartik besitzt 4 paarweise orthogonale Symmetriekreise, einer davon ist imaginär. Durch eine Möbiustransformation erreicht man, dass die Achsen und der Einheitskreis Symmetriekreise sind, und die Brennpunkte auf der -Achse liegen: mit und (i.d.Regel)
 (2) 4 verschiedene Brennpunkte, die zu 2 Paaren spiegelbildlich auf 2 orthogonalen Kreisen liegen. Durch eine Möbiustransformation erhält man die Achsen als Symmetrieachsen und man kann mit und für die Brennpunkte erreichen
(3)2 einfache und ein doppelter Brennpunkt. Die Achsen können als Symmetrieachsen gewählt werden, die Brennpunkte auf der -Achse: und 0 als doppelter Brennpunkt, mit ; im Prinzip kann man wählen. Gespiegelt am Einheitskreis erhältm man einen Mittelpunktskegelschnitt.
 (4)Ein einfacher und ein dreifacher Brennpunkt: wählt man lezteren als , so ist die Quartik eine Parabel.
(5)Zwei doppelte Brennpunkte oder ein 4-facher Brennpunkt: die Quartik ist das Produkt zweier sich nicht berührender, bzw. zweier sich berührenden Kreise.
Wir versuchen, die Leit-Kreis-Konstruktion für die Fälle (1) - (3) durchzuführen und zu begründen. An mehrfacher Stelle haben wir bedauert, dass für diese grundlegenden Konstruktionen wir keine rechnerische Begründungen gefunden haben. Es fehlt uns für diese kreis-geometrischen Aussagen der geeignete nachvollziehbare Kalkül. Versuch, mit geogebra-CAS uns Licht ins Dunkle zu verschaffen, scheiterten - meist an den unübersichtlichen Formeln. Wir stellen hier geometrische Gründe bereit.
Vorgegeben sind im Applet ein Brennpunkt f, ein Scheitelpunkt s und für die Fälle (1) - (3). Die implizite Gleichung der bizirkularen Quartik lautet dann
Zur Berechnung der reellen Koeffizienten wird die reelle Funktion verwendet:
  • und
Bemerkung: in geogebra werden reelle Zahlen und Punkte auf der -Achse als verschiedene Objekte betrachtet; daher muss zB. in geogebra mit dem vorgegebenen Punkt s berechnet werden. Aus den Koeffizienten berechnet man andererseits wieder die Scheitel
  • auf der _Achse: , auf der y-Achse (beide reell gerechnet) und auf dem Einheitskreis: (beide reell gerechnet).
Die Brennpunkte werden mit komplex berechnet: . Durch die komplexe Rechnung werden auch die Brennpunkte auf dem Einheitskreis und auf der -Achse erfasst. Konfokale bizirkulare Quartiken erhält man durch Vorgabe von , bzw. durch einen Scheitel auf der -Achse () und .

Die Leit-Kreis-Konstruktion

Falls alle Brennpunkte auf einem gemeinsamen Kreis liegen (Fälle (1), (3) und (4)), so bezeichnen wir diesen Kreis als "Hauptachse". Grundeigenschaft der Leitkreise: Man zeichne einen der 4 Brennpunkte (im Folgenden mit f bezeichnet) und eine der Symmetrien einer bizirkularen Quartik aus. (Die Hauptachsensymmetrie ausgenommen, Wellen zeigt eine Konstruktionsmöglichkeit für diesen Fall ) Zu der Symmetrie gehört eine Schar von die Quartik doppelt-berührenden Kreisen.
  • Spiegelt man den Brennpunkt f an den Kreisen der Schar, so liegen die Spiegelpunkte auf einem Kreis, dem Leitkreis bezüglich f.
  • Zu jedem Punkt q auf diesem Leitkreis gehört genau ein doppelt-berührenden Kreis der Schar mit der genannten Eigenschaft.
Diese Eigenschaft trifft auch für die Tangentialkreise an Kegelschnitte (Tangenten) zu, also für die berührenden Kreise, welche durch den doppelten oder 3-fachen Brennpunkt gehen, obwohl keine Symmetrie vorliegt. Vorgegeben: der Brennpunkt f auf der -Achse, ein Scheitel s auf der -Achse sowie . Die Brennpunkte liegen in Normalform, Scheitelkreise, symmetrisch zur Achse und . Für ist der 2. Kreis imaginär, für ist es der Ursprung als Punktkreis. f gespiegelt an diesen beiden Kreisen liefert die reellen Punkte und auf der -Achse. Da der "Leitkreis" aus Symmmetriegründen -achsensymmetrisch sein muß, ergibt sich mit diesen Randpunkten die "Leitkreis"-Gleichung mit Mittelpunkt: und Radius: :
Für liegen und spiegelbildlich zu : . Für berührt der die -Achse in . Für geht durch , wovon man sich durch Einsetzen überzeugt. Es sei q ein Punkt auf und die Tangente an durch q und der Tangentenschnittpunkt mit der -Achse. Der Kreis um durch q geht für durch , berüht für die -Achse in , und liegt für im hyperbolischen Kreisbüschel um . Der "Brennkreis" ist orthogonal zum "Leitkreis" und zur Tangente . gespiegelt an der Mittelsenkrechten von f und q ergibt eine Gerade durch f. Der "Brennkreis" um den Schnittpunkt von mit der _Achse durch f ist orthogonal zur Geraden . Der Schnittpunkt der Geraden ist Mittelpunkt eines Kreises , der die "Brennkreise" in q bzw. in f berührt. Falls die Geraden parallel sind, haben die "Brennkreise" in q und in f die gemeinsame Tangente . Übrigens: falls dies für jedes q auf dem "Leitkreis" der Fall ist, ist die Quartik eine CASSINI-Kurve CASSINI. Der Mittelkreis von und ist orthogonal zu . Gespiegelt an ihm werden die "Brennkreise" und , sowie q und f vertauscht. Falls und sich schneiden, ist winkelhalbierender Kreis von , und ein -achsensymmetrischer doppelt berührender Kreis der bizirkularen Quartik. Die Gleichungen der "Brennkreise" und die Koordinaten der Schnittpunkte rechnerisch zu ermitteln, ist uns nicht gelungen. Wären in geogebra elliptische Funktionen implementiert, so ließen sich die Quartiken und ihre Punkte in Parameterdarstellung untersuchen.

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