Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung
Einleitung
In der Aktivität Vom Ort zur Geschwindigkeit haben wir uns damit beschäftigt, die Geschwindigkeit eines Körpers, beziehungsweise einer Punktmasse, als vektorielle Ableitung des Ortes nach der Zeit zu beschreiben. Nun werden wir einen entsprechenden Weg für die Beschleunigung gehen. Diese ist nämlich neben der Geschwindigkeit eine Größe, die den Bewegungszustand eines Körpers beschreibt. In der Kinematik beschränkt man sich auf diese beiden Größen. Im Applet können wie in der vorigen Aktivität die Terme für die Bahnkoordinaten eigegeben werden. Auch für das Zeitintervall und die Schieberegler gilt das Gleiche. Auf die Komponentenzerlegung habe ich hier verzichtet. Die Differenzvektoren für den Ort und die Geschwindigkeit können jedoch wahlweise angezeigt werden. Einige Beispiele für typische Bewegungen habe ich ausgewählt. Durch Anklicken der entsprechenden Schaltflächen werden diese angezeigt.
Theoretische Betrachtungen
Zum besseren Nachvollziehen der folgenden Betrachtungen setzen Sie die Darstellung zurück und wählen dann die Kontrollkästchen Geschwindigkeit, Beschleunigung und Differenzgrößen aus. Über die Geschwindigkeit haben wir bereits Überlegungen angestellt, daher steht hier die Beschleunigung im Mittelpunkt. In der Schule wurde die Beschleunigung als Quotient aus Geschwindigkeitsänderung und Zeitspanne definiert. Daher werden wir auch hier die Geschwindigkeitsdifferenz betrachten. Im Beispiel hat sich nach der Zeit die Punktmasse von nach bewegt. Der Betrag der Geschwindigkeit hat sich dabei nicht geändert, wohl aber ihre Richtung. Der Differenzvektor kann jedoch nicht einfach dargestellt werden, indem man die Pfeilspitzen von und miteinander verbindet. Die Ausgangspunkte der Pfeile stimmen nämlich nicht überein. Ein Vektorpfeil beschreibt lediglich eine Verschiebung, die für jeden Punkt im Raum gilt. Daher wird der gleiche Vektor gekennzeichnet, wenn man seinen Pfeil durch eine Parallelverschiebung so einzeichnet, dass er auch am Punkt P beginnt. In der Darstellung wurde diese Veränderung vorgenommen und der Differenzvektor eingetragen. Wie bei der Geschwindigkeit bilden wir im nächsten Schritt wieder das Produkt mit dem Skalar und erhalten den Vektor . Im Applet bewegen Sie nun den Schieberegler für die Zeitspanne nach links. Sie sehen, wie sich der Pfeil für diesen Vektor dem Vektor für die Beschleunigung annähert. Wir können daher die Beschleunigung als definieren. Wir schreiben kurz
.
Damit ist die Beschleunigung gleichzeitig auch die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit. Wir schreiben
.
Folgend betrachten wir einige Beispiele spezieller Bewegungsvorgänge: Die geradlinig gleichförmige Bewegung: Klicken Sie hierzu die entsprechende Schaltfläche an und wählen Sie Geschwindigkeit und Differenzgrößen aus. Sie werden sehen, dass sich lediglich die Pfeile bewegen, aber weder Richtung noch Betrag ändern. ist stets null und damit auch die Beschleunigung. Allgemein lassen sich solche Bewegungen durch beschreiben. Die Ableitungen sind dann und . Wir sehen also, dass die Geschwindigkeit konstant ist und beträgt. Die Beschleunigung ist erwartungsgemäß null.
Die geradlinig gleichmäßig beschleunigte Bewegung: Klicken Sie die Schaltfläche Geradlinig beschleunigte Bewegung an und wählen Sie Kontrollkästchen Geschwindigkeit und Beschleunigung aus. Mit dem Schieberegler für die Zeit können Sie nun nachvollziehen, dass die Geschwindigkeit immer in die gleiche Richtung zeigt, ihr Betrag aber mit der Zeit wächst. Der Pfeil für die Beschleunigung behält Richtung und Betrag. Für die Verallgemeinerung ist zu beachten, dass die Beschleunigung in dem Fall, dass die Anfangsgeschwindigkeit nicht null ist, in Richtung der Anfangsgeschwindigkeit wirken muss, d.h. , wobei eine Konstante ist. Die Gleichungen hierzu lauten
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Die Gleichungen bestätigen, dass die Geschwindigkeit mit der Zeit linear wächst. Ihr Betrag ist . Die Beschleunigung ist konstant. Für den Fall, dass die Anfangsgeschwindigkeit null ist, kann die Beschleunigung beliebig gewählt werden. Dann lauten die Gleichungen
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Die Geschwindigkeit hat dann den Betrag . Die Wurfbewegung: Anhand des Applets können Sie sehen, dass auch bei der Wurfbewegung eine konstante Beschleunigung vorliegt. Im Gegensatz zur geradlinigen Beschleunigung sind hier die Richtungen von Anfangsgeschwindigkeit und Beschleunigung nicht gleich. Stattdessen entspricht die Gleichung für die horizontale Richtung der einer gleichförmigen Bewegung. Die vertikale Richtung ist beschleunigt. Auf der Erdoberfläche beträgt diese . Im Applet habe ich zur Vereinfachung 10 gewählt. Die Gleichungen lauten
.
Dabei ist der Betrag der Fallbeschleunigung. beschreibt die Abwurfhöhe. Hier ändert sich die Geschwindigkeit sowohl in Betrag als auch Richtung. Die gleichförmige Kreisbewegung: Bei dieser Bewegungsform überstreicht die Punktmasse auf ihrer Kreisbahn in gleichen Zeiten gleiche Winkel . Man definiert daher die Winkelgeschwindigkeit . Die Kreisbahn habe den Radius . Ohne Beschränkung der Allgemeinheit soll der Anfangswinkel null sein und die Punktmasse auf der x-Achse starten. Die Gleichungen lauten dann
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Die Beträge lassen sich jetzt leicht angeben: Der Betrag des Spaltenvektors in jeder der drei Gleichungen ist 1. Damit gilt zu jeder Zeit und . heißt Radialbeschleunigung. Sie zeigt immer orthogonal zur Bahngeschwindigkeit . Weiterhin wird deutlich, dass der Beschleunigungsvektor in Richtung Mittelpunkt der Kreisbewegung wirkt. Die beschleunigte Kreisbewegung: Nun nehmen wir an, dass der Winkel eine Funktion der Zeit ist. Im Applet habe ich als Beispiel eine konstante Winkelbeschleunigung gewählt. Somit ist hier die Funktion für den Winkel . Im Applet sieht man, dass nun offenbar die Beschleunigung nicht mehr zum Drehzentrum zeigt und der Betrag trotz konstanter Winkelbeschleunigung wächst. Hier schauen wir uns den allgemeinen Fall an, wobei der Radius wieder ist: Die zugehörigen Gleichungen sind
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Der Betrag der Bahngeschwindigkeit ist somit wieder das Produkt aus Radius und Winkelgeschwindigkeit, also . Der Betrag der Beschleunigung ist nun . Die Beschleunigung lässt sich in die zueinander orthogonalen Komponenten mit den Beträgen und aufteilen. Nur die Tangentialkomponente trägt dabei zur Änderung des Geschwindigkeitsbetrags bei. Damit wird auch deutlich, dass der Betrag der Beschleunigung bei gleichmäßiger Kreisbeschleunigung nicht konstant ist.