Integrando las cuatro posiciones
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Inclinando la botella de Piaget con GeoGebra Discovery.
Ahora ya podemos integrar las cuatro posibles transiciones. Hemos visto que si llamamos t a la tangente del ángulo de inclinación de la botella (de altura a, ancho b y llena de líquido hasta una altura h), podemos definir:
Cuando la botella esté llena menos de la mitad, es decir, cuando h<a/2, se alcanzarán las bases en los siguientes momentos:- La base inferior cuando t = t1.
- La base superior cuando t = t4.
Cuando la botella esté llena más de la mitad, es decir, cuando h- La base superior cuando t = t1'.
- La base inferior cuando t = t4'.
Cuando la botella esté llena exactamente por la mitad, es decir, cuando h- el líquido ocupe la mitad o menos de la botella y t ≤ t1
- o bien, el líquido ocupe más de la mitad de la botella y t ≤ t1'.
En esa posición, la altura alcanzada por el nivel, en función del ángulo de inclinación α, es:
La posición 2 ("Alcanzando la base inferior") se dará cuando:
- el líquido ocupe la mitad o menos de la botella y t1
< t < t4.
En esa posición, la altura alcanzada por el nivel, en función del ángulo de inclinación α, es:
La posición 3 ("Alcanzando la base superior"), alternativo al anterior, se dará cuando:
- el líquido ocupe más de la mitad de la botella y t1'
< t < t4'.
En esa posición, la altura alcanzada por el nivel, en función del ángulo de inclinación α, es:
La posición 4 ("Alcanzando ambas bases") se dará cuando:
- el líquido ocupe la mitad o menos de la botella y t ≥ t4
- o bien, el líquido ocupe más de la mitad de la botella y t ≥ t4'.
En esa posición, la altura alcanzada por el nivel, en función del ángulo de inclinación α, es:
Observemos que en el caso particular de la botella exactamente mediada, analizado en la sección anterior, en donde h=a/2, las posiciones 2 y 3 no se dan (ya que el líquido alcanza ambas bases a la vez) y la función f de la altura alcanzada por el nivel en la posición 4 coincide con la función correspondiente a la posición 1.
Hemos colocado un punto en el centro del nivel del agua para que indique su altura. Marcando la casilla "Activar rastro" podremos visualizar como varía el nivel al inclinar la botella, en función de sus dimensiones y la proporción de líquido que contenga, es decir, según sean los valores de a, b y h. Los rastros negros son, como hemos visto, arcos de circunferencia. El rastro rojo corresponde a las inclinaciones en los que el líquido ha alcanzado una base pero todavía no ha alcanzado la otra.
Al igual que hemos hecho en la sección anterior, para visualizar mejor la correspondencia entre las dos vistas gráficas de GeoGebra, hemos colocado el punto A en el origen de coordenadas y el punto U en el eje de las abscisas.