Newton-Leibnizova formule
- Autor:
- Šárka Voráčová
Základní věta integrálního počtu udává vztah mezi dvěma základními operacemi integrálního počtu: derivováním a integrováním.
Pokud je funkce f(x) spojitá na uzavřeném intervalu [a, b], pak ,
kde F'(x) =f(x); F(X) je tzv. primitivní funkce k funkci f(x). Tento vztah bývá též označován jako Newton-Leibnizova formule, popř. se o něm také hovoří jako o základní větě integrálního počtu.
Nejjednodušším integrálem je Riemannův integrál, který vychází z intuitivní představy měření obsahu plochy pod grafem funkce. Chceme-li přibližně zjistit tento obsah, provedeme to v praxi pravděpodobně tak, že položíme do měřené plochy nějaké útvary, jejichž obsah dovedeme spočíst, tak, aby nepřesahovaly hranici měřené oblasti a vzájemně se nepřekrývaly. Sečteme-li nyní obsahy všech vložených útvarů, dostaneme zřejmě číslo, které je menší než obsah měřené plochy — tzv. dolní odhad. Obdobně (pokrytím celé měřené plochy známými útvary) získáme tzv. horní odhad.
Obsah měřené plochy pak leží mezi dolním a horním odhadem. Budeme-li používat k vykládání plochy stále menší a menší útvary, dokážeme oba odhady stále zpřesňovat, až teoreticky při vyložení plochy nekonečně mnoha nekonečně malými útvary dostaneme horní i dolní odhad roven stejnému číslu — obsahu měřené plochy.
Plocha mezi částí nějaké křivky a vodorovnou osou v rovině obecně není souhrnem ploch konečného počtu pravoúhelníků určených křivkou, ale součtem či integrálem nekonečného počtu obdélníků nekonečně malé
šířky.
Riemannův integrál kvadratické funce f(x)
Výpočet derivace funkce a hledání obsahu plochy pod grafem jsou "obrácené" operace. Toto je pointa základní věty integrálního počtu. Většina formálního důkazu věty je věnována existenci primitivní funkce F(x).
Gottfried Leibniz (1646-1716) odvozoval vztah mezi derivací a integrací na kvadratické a kubické parabole. Vycházel z geometrické představy derivace jako směrnice dy/dx pro nekonečně malé přírustky dx a dy.
Označme F(x0) obsah plochy pod grafem funkce f(x) na intervalu (0, x0).
Zjednodušeně můžeme Leibnizovy úvahy zapsat, pokud připustíme, že je zelených obdélníků (obrázek výše) nekonečně mnoho, jejich vodorovná strana je nekonečně malá dx a výška má velikost f(x), tj. obsah dF každého z nich je
dF = f(x) . dx
Každý obdélník je rozdílem obsahu plochy F(x) a F(x+dx) pro nějakou hodnotu x.
Výpočet obsahu plochy pomocí integrálů
Při výpočtu musíme mít představu o znaménkách hodnot funkce. Pokud je na celém intervalu funkce kladná, je určitý integrál rovný přímo obsahu plochy vymezené osou x a grafem funkce. Pro záporné funkce vyjde určitý integrál záporný, obsah je absolutní hodnota určitého integrálu.
Pokud na zkoumaném intervalu funkce protíná souřadnicovou osu x, musíme výpočet obsahu plochy rozdělit na dvě části.
Obsah plochy mezi funkcemi f(x), g(x)
Nechť např. na celém intervalu je f(x)> g(x). Nejprve spočítáme obsah plochy pod funkcí f(x) a od ní odečteme obsah plochy pod g(x).
Výpočet obsahu plochy mezi f(x) = sin x a g(x) = cos x.
IntegralBetween(f,g,((pi)/(4)),((5pi)/(4)))
IntegralMezi(f,g,((pi)/(4)),((5pi)/(4)))Literatura
Kapitola Integrál na serveru matematika.cz
Výpočet plochy obrazce I, Výpočet plochy obrazce II na serveru realisticky.cz
Prezentace k přednášce "Funkce", Google Slides
Prezentace k přednášce "Infinitesimální počet", Google Slides
