Curva Epiciclóide
Curva Epiciclóide
Exercício: Um círculo c de raio r e centro , rola externamente sobre um círculo fixo C, de raio R e centro . Um ponto P da circunferência c descreve uma Epiciclóide. Supondo que para o tempo t=0 o ponto P da circunferência c está em contato com a circunferência C obtenha uma curva parametrizada diferenciável cujo traço é a Epiciclóide.
Para começar construímos o círculo de centro na origem e raio R, que é o círculo fixo do exercício. Depois de centro na origem construímos o círculo de raio R+r, onde estará o centro da circunferência de raio r. Aqui lembramos que queremos que a circunferência de raio r deverá rolar sobre a circunferência de raio R, o que faremos com o uso controle deslizante , logo seu centro terá coordenadas
Queremos determinar o ponto P, sobre a circunferência de centro de forma que
Para isso, vamos primeiro determinar a medida do ângulo , que satisfaça a igualdade anterior, lembremos que e que , logo, . Construímos então este ângulo e obtemos assim o ponto P. O lugar geométrico deste ponto é a curva Epiciclóide.
Para obter a parametrização da curva, precisamos determinar as coordenadas do ponto, para isso precisamos considerar que ao alterarmos o valor de , o arco que P percorre sobre o círculo de centro equivale ao ângulo , por esta razão a parametrização da Epiciclóide é dada por:
Se eu quiser as coordenadas do ponto P, basta na equação acima trocar t por , os cálculos forma feitas pensando em obter as coordenadas do ponto P, e ao final foi feita apenas a troca de parâmetro.
Na construção abaixo n determina o número de voltas que o círculo de centro dá em torno do círculo fixo.