Cónicas a partir de circunferencias y mediatrices.
Trabajo de servicio social realizado por Sabino Isaac Cano Paez bajo la asesoría de la profesora Arilín Susana Haro Palma.
Problema
Dada una circunferencia con centro en el punto y radio , hacemos la siguiente construcción:
1. Elegimos un punto sobre la circunferencia.
2. Elegimos un punto fuera de la circunferencia.
3. Trazamos la mediatriz del segmento .
4. Trazamos el punto como la intersección de las rectas y .
La pregunta aquí es, ¿qué lugar geométrico describe si movemos el punto a lo largo de toda la circunferencia?
Conjeture de acuerdo a la animación.
Solución
Como ya lo habrás pensado, el lugar geométrico que describe el punto es una hipérbola. Veamos la justificación en el siguiente cuadro.
En el siguiente recuadro, haz clic en cada casilla para seguir los pasos. Si el texto o las figuras se desordenan, haz clic en el botón de actualizar que se encuentra en la esquina superior derecha.
Justificación
Por lo tanto .
Recordemos que el lugar geométrico de una hipérbola con focos y es el conjunto {} para algún numero real fijo.
Entonces está en la hipérbola que tiene como focos a los puntos y . Es decir, el lugar geométrico que describe el punto es una hipérbola.
Problema extra: ¿Qué pasa si está dentro de la circunferencia?
