Funciones exponenciales y funciones logarítmicas
Potenciación, radicación y logaritmación
Potenciación, radicación y logaritmación son tres operaciones matemáticas relacionadas entre sí.
Potenciación: Es la operación mediante la cual una cantidad llamada base se multiplica por sí mismo un número de veces. El resultado se llama potencia mientras que la cantidad de veces que se multiplica la base se llama exponente.
Radicación: Es una operación inversa a la potenciación, en la cual se obtiene un número llamado raíz tal que al multiplicarlo por sí mismo el número de veces que indica el exponente, se obtiene el radicando o subradical. El exponente de la potencia es el índice de la raíz.
Logaritmación: Es otra operación inversa de la potenciación. Consiste en hallar el exponente al cual fue elevada la base para obtener la potencia. El resultado de la operación se llama logaritmo y equivale al exponente de la potencia.
En la logaritmación, la base puede ser cualquier número mayor que cero pero diferente de uno. Sin embargo, normalmente sólo se utilizan dos: base 10 para los logaritmos decimales y base e para los logaritmos naturales.
El número e (número de Euler) es un número irracional. Su equivalencia es e = 2.718281....
Un logaritmo decimal (base 10) se escribe log x mientras que un logaritmo natural (base e) se escribe ln x.
La tabla siguiente es una síntesis de las tres operaciones analizadas:
Función exponencial y función logarítmica
Función exponencial es una función cuya ecuación es siendo a > 0 y . La variable independiente x es el exponente. Las imágenes de f(x) son las potencias del número a que es la base.
Función logarítmica es una función cuya expresión es , a > 0 y . Las imágenes de f(x) son los exponentes de la potencia de base a.
Las funciones exponenciales y las funciones logarítmicas son inversas entre sí, es decir, son simétricas con respecto de la función identidad f(x) = x.
En el applet que sigue se analizan gráficamente la función exponencial f(x) = ax y la función logarítmica g(x) = logax con la base a (deslizador) entre 0.1 y 10. De cada función se muestra su inversa. Adicionalmente se muestran las funciones cuya base es el número de Euler: r(x) = ex y s(x) = ln x.
Características de la función exponencial f(x) = ax
- Dominio: conjunto de los números reales, Df = R
- Rango: subconjunto de los reales positivos, Rf = ()
- Intercepto con Y: punto (0, 1) porque a0 = 1
- No tiene raíces
- Siempre pasa por el punto (a,1) porque a1 = 1
- El eje X es una asíntota horizontal
- Es creciente si a > 1. Es decreciente si 0 < a < 1.
- Es continua en todo su dominio.
Características de la función logarítmica g(x) = loga x:
- Dominio: subconjunto de los reales positivos, Rf = ().
- Rango: conjunto de los números reales, Df = R.
Como las dos funciones son inversas, el dominio y el rango se intercambian: el dominio y el rango de la primera es el rango y el dominio de la segunda.
- No tiene intercepto con Y.
- Raíces: punto (1, 0) porque loga 1 = 0. Siempre pasa por ese punto.
- Siempre pasa por el punto (a, 1) porque loga a = 1
- El eje Y es una asíntota vertical
- Es creciente si a > 1. Es decreciente si 0 < a < 1.
- Es continua en todo su dominio.
En el applet, cuando se activan las funciones inversas se muestra 2 parejas de puntos, C y C' y B y B'. Cada pareja de puntos son simétricos con relación a la recta diagonal y = x (función identidad). Desplace los puntos C y/o B.
Las funciones r(x) = ex y s(x) = ln x son casos especiales de la funciones exponencial y logarítmica. La base de las dos es el número e = 2.718281828...