E 07 Az E-háromszög nevezetes vonalai és pontjai
Legyen adott egy háromszög ...
... amelyen igyekszünk rendre bemutatni, hogy a középiskolai elemi geometriának a fenti címhez tartozó fogalmai, összefüggései miként tükröződnek ebben a szokásostól sok mindenben eltérő rendszerben. Továbbra is a három csúcsból és a három oldalegyenesből álló geometria alakzatot tekintsük háromszögnek.
Korábban megismerkedhettünk az E-pont polárisának és az E-egyenes pólusának a fogalmával.
Az alábbi szerkesztésekben gyakran lesz szükségünk az E-háromszög poláris háromszögére.
Az ABCΔ csúcsainak a polárisait képezve kapjuk az ABCΔ poláris háromszögének - PABCΔ -nek - az oldalegyeneseit, oldalegyeneseinek a pólusaiként kapjuk a PABCΔ csúcsait. A háromszög és polárisa közötti kapcsolat szimmetrikus: egy háromszög polárisának a polárisa az eredeti háromszög.
Egy kvadrát háromszög - amelynek az oldalai és szögei is derékszögek - egybeesik a poláris háromszögével. Ez így is megfogalmazható:
- Egy E-háromszög akkor és csak akkor kvadrátháromszög, ha egybeesik a poláris háromszögével.
1. Magasságvonalak, magasságpont.
Kezdjük a vizsgálódást a kvadrát háromszöggel. Ennek bármely csúcsára illeszkedő E-egyenes merőleges a háromszög szemközti oldalára, ezért nincs egyértelműen meghatározható magasság-egyenese és magasságpontja sem. Ugyanezt mondhatjuk azokról az egyenlő szárú E-háromszögekről is, amelyeknek az alapon fekvő szögeik derékszögek. Bár ... ez definíció kérdése.
Fogadjuk el a magasságpont definíciójaként az alábbi meghatározást:
- Az ABCΔ magasságpontjának nevezzük azt az M pontot, amelyből a háromszög mindhárom oldalegyenesére merőlegest állítva a kapott egyenesek illeszkednek az oldalegyenesekre nem illeszkedő csúcsokra.
- Az euklideszi sík minden háromszögének pontosan egy magasságpontja van;
- A hiperbolikus síkon vannak olyan háromszögek amelyeknek nincs magasságpontjuk;
- Az elliptikus sík minden háromszögének pontosan egy magasságpontja van, kivéve azt a háromszöget, amelynek legalább két derékszöge van. A kvadrát háromszögnek a sík minden pontja magasságpontja.
2. Felezőpontok, középvonalak, súlyvonalak, súlypontok
A fenti címben mindenütt többes szám szerepel. Hamarosan kiderül, hogy miért.
Korábban láttuk, hogy az E-sík bármely két pontjához két tükörpont (szakasz felező pont) tartozik, amelyekre vonatkozó centrális tükrözés a két pontot egymásba viszi át. Mivel három E-pont három E-egyenest, (hat E-szakaszt) így hat felezőpontot határoz meg.
(√ABCΔ) , (√Felezőpontok), (√Középvonalak)
Ha középvonalaknak e felezőpontokra illeszkedő E-egyeneseket tekintjük, azonnal látszik, hogy a hat pont csak négy középvonalat határoz meg: mindegyikre három felezőpont illeszkedik.
(√ABCΔ), (√Súlyvonalak), (√Súlypontok)
Épp úgy mint az abszolút geometriában, itt is teljesül, hogy:
- A háromszöglapok súlyvonalai egy pontra, a háromszöglap súlypontjára illeszkednek.
3. Szakaszfelező merőlegesek, a háromszög köré írt körei
Addig, amíg az abszolut geometriában három pontra legfeljebb egy kör illeszkedik, hamarosan látni fogjuk, hogy a fenti címben ugyancsak indokolt a többes szám.
Mivel egy adott E-egyenesre merőleges egyenesek egy pontra - az egyenes pólusára - illeszkednek, a szakaszfelező merőlegesek megszerkesztéséhez a szakaszok felezőpontjai mellett szükségünk lesz az ABCΔ poláris háromszögének a P_a, P_b, P_c csúcsaira.
(√ABCΔ), (√Felező-merőlegesek), (√PABCΔ)
Az ABCΔ oldalfelező merőlegesei az oldalak felezőpontjaira és az oldalegyenesek pólusira illeszkednek.
(√Felező-merőlegesek), (√Köréírt kör kp.)
Figyeljük meg, hogy négy olyan pont van, amelyre az így kapott hat egyenes közül három-három illeszkedik. Ez a négy pont ugyancsak ortocentrikus pontnégyest alkot: a hat szakaszfelező merőleges közül bármely kettőt kiválasztva vagy merőlegesen metszik egymást, vagy illeszkedik a metszéspontjukra egy harmadik egyenes is.
(√ABCΔ), (√Köréírt kör kp.) +csúszka 0,...4
Összegezve: az E-sík három adott pontjára négy olyan kör illeszkedik, amelyek középpontjai rendre megszerkesztve - egy csúszkával vezérelve - egyenként megjelenítettük a négy körülírt kört is.
4. Szögfelezők, beírt körök
Itt ( 2. app. 4. lépés) már találkoztunk azzal az egyenlő szárú háromszöggel, amelynek van két derékszöge.
Ennek a tulajdonságait kihasználva szerkeszthetjük meg egy E-háromszög szögfelező egyeneseit.
Pl. az A csúcshoz tartozó szögfelezők illeszkednek az A csúcs polárisán lévő P_b , P_c szakaszok felezőpontjaira.
(√ABCΔ), (√PABCΔ), majd: (√Szögfelezők)
Vegyük észre, hogy az ABCΔ poláris háromszögének - a PABCΔ -nek - a szakaszfelező merőleges egyenesei lesznek egyben az ABCΔ szögfelezői.
Korábban láttuk, hogy a egy E-háromszög köré írt köreinek a középpontjai ortocentrikus pontnégyest alkotnak .Így a négy beírt kör középpontjai - amelyek mindegyikére három szögfelező illeszkedik - ugyancsak ortocentrikus pontnégyest alkotnak.
(√ABCΔ), (√Szögfelezők.)
Ugyanakkor - éppúgy, mint ahogy az euklideszi geometriában a háromszöglap külső- és belső szögfelezői - az ABCΔ egy-egy csúcsára illeszkedő szögfelezők is merőlegesek egymásra. Csak itt értelmét veszti a"belső", és "külső" megkülönböztetés. Sőt, ebben az anyagban nem is használtuk a háromszöglap fogalmát.
