Ley de senos y cosenos en acción.
Información general.
La siguiente actividad corresponde al tema "todos los triángulos: leyes de senos y de cosenos y resolución de triángulos" de la unidad 2 del curso de Geometría Analítica 1. Si quieres consultar la explicación de dicho tema, que es ocupada en esta actividad, puedes acceder al siguiente material:
- Video 1: Ley de senos.
- Video 2: Leyes de cósenos.
El seno de la suma de dos ángulos vía la ley de senos.
En esta sección deduciremos una identidad trigonométrica importante para el seno de la suma de dos ángulos ocupando la ley de senos, pues esto ejemplifica muy bien la utilidad de dicha ley. Consideremos un triángulo , con ángulos interiores y correspondientes a los vértices y respectivamente. Supondremos además que dicho triángulo está circunscrito en una circunferencia con centro en el punto y diámetro igual a 1. A continuación probaremos la identidad del seno de la suma de ángulos, . Nota: por simplicidad, la notación representará la longitud del segmento En el siguiente los siguientes recuadros, haz clic en cada casilla para seguir los pasos. Si el texto o las figuras se desordenan, haz clic en el botón de actualizar que se encuentra en la esquina superior derecha.
Observa que el primer paso está justificado en que los ángulos verdes subtienden del mismo arco y por ende tienen la misma magnitud. Como se sigue que , pues el seno de un ángulo es igual al seno de su suplemento. Por lo tanto .
La fórmula de Brahmagupta y la fórmula de Herón.
Un cuadrilátero cíclico es un cuadrilátero cuyos vértices están en una circunferencia. Diremos además que un cuadrilátero es convexo si todos sus ángulos interiores son menores a radianes. A continuación veremos cómo calcular el área de cuadriláteros cíclicos. Fórmula de Brahmagupta: Consideremos un cuadrilátero cíclico y convexo, es decir, sus vértices están en una circunferencia. Si , , , y , entonces , donde denota el área del cuadrilátero. A esta última fórmula para calcular áreas de cuadriláteros le conocemos como fórmula de Brahmagupta. A continuación veremos cómo se llega a la fórmula de Brahmagupta usando la ley de cosenos.
Demostración (parte 1): Dividir en dos triángulos y aplicaremos la ley de cosenos.
Prueba (Parte 2): Desarrollar las cuentas.
Prueba (Parte 3): Dividir en dos triángulos y calcular sus áreas.
Por lo tanto, al igualar los resultados de las partes 2 y 3 de la prueba, concluimos que , la cual es la famosa fórmula de Brahmagupta. Fórmula de Herón: Consideremos un triángulo . Sea , entonces , la cual es llamada la fórmula de Herón. Podríamos considerar a la fórmula de Herón como un caso "degenerado" de la fórmula de Brahmagupta, pues al considerar que en el cuadrilátero se cumple , entonces y calculando el área del cuadrilátero con la fórmula de Brahmagupta, obtenemos la fórmula de Herón.