Costruzione quadrilatero ciclico - 1
Costruire un quadrilatero ciclico convesso, conoscendo le lunghezze dei suoi lati in un ordine dato.
La costruzione con relativa dimostrazione segue quanto proposto nel sito "cut-the-knot" all'indirizzo:
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Constructions/CyclicQuadrilateral.shtml.
Naturalmente si suppone l’esistenza del quadrilatero convesso e questo si verifica quando la somma delle lunghezze di tre lati è sempre maggiore del quarto lato.
Usiamo il metodo di analisi e sintesi.
Supponiamo che il quadrilatero ciclico esista.
Disegniamo CM, con M sul prolungamento del segmento AD, in modo che ∠DCM = ∠BAC. I triangoli ABC e CDM risultano simili perché ∠ABC = 180° − ∠ADC = ∠CDM. La similitudine dei triangoli implica la proporzione DM/b = c/a e quindi DM = bc/a. Inoltre per la stessa similitudine AC/CM = a/c. Ciò ci dice che C si trova sul luogo dei punti le cui distanze dai punti A e M sono nel rapporto a/c. Tale luogo è una circonferenza di Apollonio.
Queste informazioni sono sufficienti per realizzare la costruzione.
Supponiamo che d sia maggiore o uguale alle altre tre lunghezze date.
Bisogna dimostrare che C esiste. La circonferenza di Apollonio interseca il segmento AM nel punto K in modo tale che AK = (ad + bc)/(a + c). Infatti AM = d + bc/a per costruzione e AK/KM = a/c perché K appartiene alla circonferenza di Apollonio.
Verifichiamo che AK ≤ d cioè K sta a sinistra di D o coincide con esso. Infatti:
Queste informazioni sono sufficienti per realizzare la costruzione.
Supponiamo che d sia maggiore o uguale alle altre tre lunghezze date.- Costruiamo i punti A e D a distanza d. Sulla retta AD dalla parte di D costruiamo M tale che d(D,M) = bc/a.
- Costruiamo il punto C intersezione tra la circonferenza di centro D e raggio c e la circonferenza di Apollonio luogo dei punti P tali che d(A,P)/d(P,M) = a/c.
- Costruiamo il punto B intersezione tra la circonferenza di centro A e raggio a e la circonferenza di centro C e raggio b.
Bisogna dimostrare che C esiste. La circonferenza di Apollonio interseca il segmento AM nel punto K in modo tale che AK = (ad + bc)/(a + c). Infatti AM = d + bc/a per costruzione e AK/KM = a/c perché K appartiene alla circonferenza di Apollonio.
Verifichiamo che AK ≤ d cioè K sta a sinistra di D o coincide con esso. Infatti:
d − (ad + bc )/(a + c) = (cd − bc)/(a + c) = c(d − b)/(a + c) ≥ 0
perché b ≤ d. Inoltre KD = c(d − b)/(a + c) è minore di c. Infatti:c(d − b)/(a + c) − c = [c/(a + c)](d − b − a − c) = [c/(a + c)][d – (b + a + c)] < 0
perché un lato del quadrilatero è sempre minore della somma degli altri tre. Possiamo quindi essere certi che nel secondo passaggio la circonferenza di centro D e raggio c e la circonferenza di Apollonio si intersecano in un punto C. Bisogna ora dimostrare l’esistenza di B. Consideriamo la disuguaglianza triangolare CM < c + DM. Per costruzione DM = bc/a e poiché il punto C appartiene alla circonferenza di Apollonio AC/CM = a/c e quindi CM = AC c/a. Sostituendo nella disuguaglianza triangolare si ha AC c/a < c + bc/a e quindi AC < a+b. Possiamo quindi essere certi che nel terzo passaggio la circonferenza di centro A e raggio a e la circonferenza di centro C e raggio b si intersecano in un punto B. Abbiamo così costruito due triangoli ABC e CDM con lati proporzionali e quindi simili. In particolare ∠ABC = ∠CDM e quindi ∠ABC + ∠ADC = 180°. Il quadrilatero ABCD è ciclico. La costruzione determina il quadrilatero in modo univoco, tuttavia, se ignoriamo l'ordine dei lati, ci sono, in linea di principio, sei quadrilateri ciclici diversi con lati di misure a, b, c, e d. Tutti hanno la stessa area data dalla formula di Brahmagupta valida per i quadrilateri ciclici convessi:A = √[(p − a)(p −b)(p − c)(p − d)],
dove p è il semiperimetro del quadrilatero: p = (a + b + c + d)/2. Tutti e sei condividono anche il raggio R della circonferenza circoscritta che si ricava dalla relazione di Parameshvara / Lhuilier:16R2 = (ad + bc)(ac + bd)(ab + cd) / [(p − a)(p − b)(p − c)(p − d)].
Il quadrilatero ciclico convesso è anche il quadrilatero convesso di area massima costruibile con le misure dei lati date. Infatti la formula di Bretschneiner relativa all’area dei quadrilateri convessi:A = √[(p − a)(p − b)(p − c)(p − d) – abcd cos2((α +ϒ)/2)],
dove α e ϒ sono due angoli opposti del quadrilatero, ha valore massimo quando cos((α + ϒ)/2) = 0 e questo si verifica quando α e ϒ sono supplementari. La seguente figura dinamica permette di visualizzare il quadrilatero ciclico, note le misure dei suoi lati, al variare delle misure stesse e a partire dal lato di lunghezza maggiore. Utilizzando la barra di navigazione si può ripercorrere la costruzione geometrica.