Expertenaufgabe: Schwerpunkt eines Tetraeders
Ein Tetraeder (Vierflächler) ist eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche.
Ermittelt man von jeder Dreiecksfläche den Schwerpunkt und verbindet den Schwerpunkt mit dem Eckpunkt des Tetraeders, der nicht zur Fläche gehört, so schneiden sich die Geraden in einem Punkt, dem Schwerpunkt des Tetraeders.
Das folgende Applet zeigt einen Tetraeder und den Schwerpunkt des Tetraeders.
Drehe das Koordinatensystem mithilfe des Zeigerwerkzeugs und blende eventuell störende Linien aus.
Verändere auch die Koordinaten der Punkte A, B, C und D und beobachte, wie sich der Tetraederschwerpunkt verändert.
Hinweis: In einem Tetraeder teilt der Schwerpunkt die Verbindungsstrecke von einer Ecke zum Schwerpunkt der gegenüberliegenden Fläche im Verhältnis 3:1.
Wie bestimmt man den Schwerpunkt einer Dreiecksfläche des Tetraeders? Gib die entsprechende Berechnungsformel an.
Gib den Vektorzug vom Ursprung zu einem Schwerpunkt einer Dreiecksseite zu dem gegenüberliegenden Punkt an.
Begründe durch Rechnung, dass gilt.