Volumen de un prisma truncado
Un prisma truncado es aquel en que las bases no son paralelas. Es decir, se trata de un volumen delimitado por tres o más planos que se cortan en lineas paralelas, las aristas laterales del prisma, y por dos planos secantes a todos los anteriores, que en general no son paralelos entre si, como si ocurre en un prisma recto u oblícuo no truncado.
Las caras laterales son ahora trapecios, y las dos bases son polígonos de igual número de lados. La sección recta, S en la figura, es la sección perpendicular a las aristas laterales del prisma. Las dos base y la sección recta se corresponden en una proyección paralela, en la dirección de las aristas laterales. Esta es una transformación afín, que conserva los cocientes de distancias alineadas, la razón simple de tres puntos, por lo que los baricentros o centros de masas de estos tres polígonos están alineados en una recta paralela a las aristas larterales.
Empecemos considerando un prisma triangular. Este puede considerarse como un prismataoide, con una de las caras laterales, la A'B'B''C'' de la figura, como base, y la otra la arista opuesta C'C'', de área nula. La altura del prismatoide coincide entonces con la altura h_c de la sección recta triangular ABC. El volumen es entonces simplemente el producto de la sección recta por la media de las aristas laterales, que es la distancia l entre los centros de masas de las dos bases.
Si el prisma no es triangular, el volumen sigue siendo el producto de la sección recta por la distancia entre los centros de masas de las bases, que ahora no será en general la media de las aristas laterales.
Para verlo, consideremos el prisma dividido en dos por un plano que contiene a diagonales correspondientes de ambas bases, y que para ambas partes se verifica lo propuesto. Sean V1, V2, V, S1, S2, l1, l2 y l los volumenes, secciones rectas y distancias entre los baricentros de las bases de ambas partes y del conjunto. Sean G1, G2 y G los baricentros de las respectivas secciones rectas y G'1, G'2, G''1, G''2, G' y G'' los de las respectivas bases. Tendremos que
V = V1+ V2 = S1·l1+S2·l2 = S·m
donde m es una longitud en principio desconocida. Despejando m,
m = (S1·l1 + S2·l2)/(S1 + S2)
Pero para los centros de masas se tiene que GG1/GG2=S2/S1. Considerando el trapecio G'1G'2G''2G''1, tenemos que el segmento l = G'G'' es paralelo a sus bases l1 = G'1G''1 y l2 = G'2G''2 a distacias proporcionales S2 y S1 respectivamente, por lo que su longitud es precisamente m (veáse Longitud de una paralela intermedia en un trapecio). Por tanto, si se verifica para ambos prismas parciales, también se verifica para el prisma total.
Entonces es suficiente descomponer el prisma en prismas triángulares, para los que sabemos que es cierto, e ir agregaándolos dos a dos, hasta obtener el prisma total. Por paso al límite, también se ve que es cierto para cualquier cuerpo limitado por una superficie cilíndrica cualquiera y dos bases no paralelas en general.
Una cuestión interesante es que si se cambia la orientación de las bases de cualquier prisma sin modificar sus centros de masas, el volumen del prisma no cambia. Forzando solo un poco más el argumento, se deduce el Teorema de Pappus-Guldin para el volumen de cuerpos de revolución: El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área de la sección que lo genera por el recorrido que realiza su centro de masas.