Funciones implícitas
Esta actividad pertenece al libro de GeoGebra Color dinámico.
El escáner de color dinámico también permite la visualización de funciones implícitas cuyas soluciones reales se reducen a número finito de puntos.
Veamos un ejemplo (agradezco al profesor Tomás Recio esta propuesta). Tenemos un triángulo arbitrario ABC. Para simplificar la función resultante, y sin pérdida de generalidad, podemos considerar A(0,0) y C(1,0).
Sean p el perímetro de ese triángulo y sea R el radio de su circunferencia circunscrita. Resulta que siempre se cumple: . Lo que queremos averiguar son los valores B(x,y) tales que se cumpla la igualdad.
Como veremos, solo dos pares de valores cumplen esa igualdad: y , es decir, los correspondientes a cuando el triángulo ABC sea equilátero.
Por supuesto, podemos pasar el escáner para comprobarlo, como se ve en la siguiente construcción, usando directamente como condición de color la diferencia .
Pero lo que pretendemos ahora no es escanear un lugar geométrico sino una función implícita.
Para ello, introducimos en la barra de Entrada de GeoGebra:
EcuaciónLugar(p ≟ 3sqrt(3) R, B)
obteniendo como respuesta la función implícita f(x,y)=0 (polinomio de grado 16): 531441x¹⁶ - 4251528x¹⁵ + 3621672x¹⁴ y² + 14880348x¹⁴ - 25351704x¹³ y² - 29760696x¹³ + 10657980x¹² y⁴ + 77551020x¹² y² + 37200870x¹² - 63947880x¹¹ y⁴ - 135733968x¹¹ y² - 29760696x¹¹ + 17653464x¹⁰ y⁶ + 167328828x¹⁰ y⁴ + 149197140x¹⁰ y² + 14880348x¹⁰ - 88267320x⁹ y⁶ - 250455240x⁹ y⁴ - 105973272x⁹ y² - 4251528x⁹ + 17955270x⁸ y⁸ + 191561004x⁸ y⁶ + 235946682x⁸ y⁴ + 47790324x⁸ y² + 531441x⁸ - 71821080x⁷ y⁸ - 236640096x⁷ y⁶ - 144481968x⁷ y⁴ - 12597120x⁷ y² + 11448216x⁶ y¹⁰ + 123219252x⁶ y⁸ + 183225240x⁶ y⁶ + 56867832x⁶ y⁴ + 1495908x⁶ y² - 34344648x⁵ y¹⁰ - 118283976x⁵ y⁸ - 92158128x⁵ y⁶ - 13401936x⁵ y⁴ + 4452732x⁴ y¹² + 42802020x⁴ y¹⁰ + 69737274x⁴ y⁸ + 30035016x⁴ y⁶ + 1485702x⁴ y⁴ - 8905464x³ y¹² - 28362960x³ y¹⁰ - 26125848x³ y⁸ - 6018624x³ y⁶ + 962280x² y¹⁴ + 6689844x² y¹² + 10694484x² y¹⁰ + 6281388x² y⁸ + 609444x² y⁶ - 962280x y¹⁴ - 2237112x y¹² - 2237112x y¹⁰ - 962280x y⁸ + 88209y¹⁶ + 204228y¹⁴ + 236134y¹² + 204228y¹⁰ + 88209y⁸ = 0 Este polinomio corresponde exactamente al numerador de la función racional resultante de racionalizar la ecuación que corresponde al lugar geométrico anterior:El denominador de esa función racional es 256 y8. Al igualar a cero, este denominador desaparece, lo que provoca, como vemos en la siguiente construcción, la aparición de soluciones falsas cuando y=0. Finalmente, para usar ese polinomio como condición de color, en vez de tomar directamente los valores del polinomio , pues sufren fuertes variaciones debido al elevado grado y los grandes coeficientes, usamos el logaritmo en base 100 de esos valores. Nota: Hemos añadido la función floor para provocar la aparición de isolíneas, es decir, para marcar las curvas donde la función alcanza igual valor. Más concretamente, las expresiones usadas en los canales RGB de color son:
- Rojo = exp(-(abs(2 ti)) - floor(abs(2 ti))))
- Verde = exp(-abs(ti))
- Azul = exp(-(abs(ti) - floor(abs(ti))))
Autor de la actividad y construcción GeoGebra: Rafael Losada.