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円の外接三角形の極線の証明

円に外接する三角形の極線は、極Nに対する円の極線である

証明

円に外接する三角形の頂点と接点を結んだ線はチェバの定理により一点Nに会する。 赤線は極Nに関する円の極線。 これと△EFGの極線が一致することを示す。 この作図では、外接三角形は二つできて、FIDQは一直線上に並ぶ。 極Qの極線はHJで、極Fの極線はBC。 したがって、その交点Mの極線はFQになる。 (円に外接する四角形の対角線は一点に会するから) HJとBCの交点がFQの極だから、これはMと一致する。 よって、Nを極とする円の極線と△EFGの極線は一致する。 ただ、これの逆を考えて、極線上の点を極とする極線を考えると、 円の場合はNを通る直線になり、 三角形EFGの場合はこの円の接線になる。 逆に三角形から極線を作図した場合、 下の図のようになり、内接する二次曲線の極線と同じになる。

三角形の極線