3.-PROGRAMACIÓN LINEAL: EJERCICIOS
- Autor:
- Pilar
En este último apartado vamos a ver cómo se resuelve un problema de programación lineal por el método gráfico. Consiste en optimizar una función, la función llamada objetivo, en el conjunto solución de un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas, llamadas restricciones.
Tanto las restricciones como la función objetivo se obtienen del enunciado. Habitualmente, esta información se puede recoger en un cuadro, lo que resulta muy útil para plantear tanto las restricciones como la función objetivo.
Una vez planteado el problema, se representan las inecuaciones para encontrar la región factible; a continuación, se obtienen los vértices de dicha región factible, y por último se sustituyen dichos vértices en la función objetivo para determinar cuál es el que nos da la solución del problema. También puedes buscar esa solución gráficamente desplazando paralelamente en la gráfica la función objetivo para buscar la mayor o menor ordenada en el origen, según sea el caso y tal y como vimos en el capítulo anterior.
Vamos a ver paso a paso la resolución de un problema de programación lineal.
Los animales de una granja deben tomar, al menos, 60 mg de vitamina A y 90 mg de vitamina B. Existen dos compuestos con estas vitaminas: el compuesto X contiene 10 mg de vitamina A y 15 mg de B, y cada dosis cuesta 0'5 €; el compuesto Y contiene 10 mg de cada vitamina, y la dosis vale 0'30 €. Se quiere calcular la dosis que deben tomar para cumplir los requisitos de vitaminas al mínimo coste.
En primer lugar, construimos un cuadro que resuma la información del enunciado:
A continuación representamos las inecuaciones y buscamos la región factible:
Buscamos los vértices y representamos la función objetivo:
Y desplazando la recta de la función objetivo para ver cuál es la menor ordenada en el origen, o sustituyendo los vértices A y D en dicha función, obtenemos:
f(A) = 0'5 x 6 = 3 €
f(D) = 0'3 x 9 = 2'7 €
Por lo que el mínimo coste, de 2'7 euros, se obtendrá con tan sólo 9 cápsulas del compuesto Y y ninguna del compuesto X.
A continuación te dejo dos videos con problemas resueltos, por si te han quedado dudas.
Video ejemplo 1
Video ejemplo 2
Ahora en tu libreta primero, y luego en Geogebra, debes resolver estos dos ejercicios.
Ejercicio 1:Tenemos 120 refrescos de naranja y 180 de limón, que vendemos en 2 tipos de paquetes: los de tipo A contienen 3 refrescos de naranja y 3 de limón, y los de tipo B contienen 2 y 4 respectivamente. El beneficio es de 6 € por cada paquete A y de 5 € por cada paquete B. ¿Cuántos paquetes de cada tipo hay que vender para maximizar los beneficios?
Ejercicio 2: Un deportista necesita diariamente consumir 36 gramos de una sustancia M, 24 de una sustancia N y 8 de una sustancia P. Las consume por medio de dos tipos de cápsulas: las cápsulas A contienen 6g de M, 2 de N y 18 de P, y cuestan 3 céntimos por cápsula; las cápsulas B contienen, respectivamente, 3, 4 y 18, y cuestan 4’5 céntimos por cápsula. ¿Cuántas cápsulas de cada tipo necesita para que el coste sea mínimo?