Google Classroom
GeoGebraGeoGebra Classroom

Egy rekurzió

Tekintsük a következő rekurziót! 1. Milyen valós -re ad ez a rekurzió (végtelen) sorozatot? 2. Milyen valós -re lesz a rekurzió által megadott sorozat a) monoton; b) korlátos; c) konvergens? d) Ha konvergens a sorozat, akkor mi a határértéke?

Segítség a sejtéshez

1. részállítás bizonyítással

Ez is segíthet:

Úgy tűnik, hogy az egyenlet megoldásainak szerepe lehet a problémában: . Az utóbbi tárgyalásmódot Dr. Karsai János tanár úr, Matanság klubban tartott előadásából ismerhetjük. A fentiek alapján eljuthatunk a sejtésekhez:

Sejtések:

  1. Az 1. részállításban szereplő első tagok kivételével a rekurzió (végtelen) sorozatot ad. ("jó" első tag)
  2. a) A sorozat egyik első tag esetén sem monoton. b) A sorozat minden "jó" első tagra korlátos (, hiszen konvergens). c) A sorozat minden "jó" első tagra konvergens. d) Bármely "jó" első tag esetén a sorozat határértéke (aranymetszés).
Image

Tóth Julianna tanárnő meggondolásai

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a fenti sejtéseket Tóth Julianna tanárnő bebizonyította, így azok tétellé váltak.