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Espirales. Mirador de la caracola

Autor:J. Cayetano Rodríguez (Formación Instituto GeoGebra Extremeño)
Una espiral se puede construir mediante un punto que da "vueltas alrededor de un centro", a la vez que se aleja de él.
  • La velocidad con que el punto se aleja puede ser variable, dando lugar a diferentes tipos de espirales.
  • También podemos construir falsas espirales, generalmente a partir de arcos de circunferencia que no comparten el mismo centro. Por eso, se dice que son espirales de varios centros.
Como ejemplo, veamos una propuesta de modelización de la espiral que se observa desde dentro del mirador de la Caracola de Cabo Home, en Galicia.

Reflexiona

Se ha procurado que los arcos de circunferencia enlacen bien, es decir, de manera suave y sin picos.

  • ¿qué propiedad de las circunferencias es la que asegura esto?
  • Dado un arco de circunferencia que acaba en un punto P, ¿cómo harías para construir el siguiente arco, que llega hasta el punto Q?

Observa e Investiga

En este caso, los centros de los diferentes arcos no quedan en lugares especialmente relevantes. Sin embargo, hay otra técnica para construir falsas espirales, que se basa en utilizar los vértices y los lados de un polígono.
  • Interactúa con el siguiente applet para averiguar cómo se utilizan. En este caso, los polígonos serán siempre regulares.

Reflexiona

  • ¿Qué relación hay entre los vértices del polígono y la espiral? Activa la opción "Marcar zonas" para verlo más fácilmente.
  • ¿Y entre los lados del polígono y la espiral? Activa la opción "Líneas aux.", para tener una pista.
  • Razona cuál debe ser la relación entre los radios de cada arco y los lados del polígono.
  • Generaliza las propiedades anteriores para dar un método de construcción de espirales falsas basadas en un polígono cualquiera. Por comodidad, podemos razonar para polígonos convexos. En el ejercicio siguiente, haremos la construcción correspondiente al caso de los cuadriláteros.

Construimos nuestra espiral

Vamos a construir una espiral falsa asociada al cuadrilátero mostrado a continuación.
  • Debemos construir, al menos, una vuelta.
  • Por simplificar, solo lo haremos para polígonos convexos. Pero, como ampliación, podemos investigar con el applet y pensar qué habría que tener en cuenta para cuadriláteros con algún ángulo cóncavo.
  • Ojo, que a la hora de elegir los puntos para trazar los arcos, el orden dependerá del sentido de giro de la espiral.
  • La construcción debe ser correcta aunque modifiquemos ligeramente la posición inicial de los puntos.
  • Para simplificar la actividad, hay algunos elementos previamente construido.
  • También, se han situado de manera más cómoda de acceder los botones que seguramente necesitarás utilizar. Resultará muy cómodo ir ocultando ciertos elementos auxiliares Toolbar Image.
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