Caratteristiche delle funzioni [1] - retta e parabola
In questo capitolo presenteremo alcune caratteristiche che vengono solitamente analizzate per studiare l'andamento di una funzione; le formuleremo nel linguaggio simbolico matematico, già incontrato in diverse occasioni, così sarà un'opportunità per ripassarlo ed imparare a formulare i concetti in modo rigoroso e sintetico. Coglieremo inoltre l'occasione per fare una carrellata di ripasso delle varie tipologie di funzione studiate finora: per ognuna di esse metteremo un evidenza, tra le caratteristiche che intendiamo approfondire, quella che meglio può essere visualizzata in quella particolare funzione.
LA FUNZIONE LINEARE (RETTA) - MONOTONIA
La prima funzione che abbiamo incontrato è la retta, cioè la rappresentazione di un'espressione di primo grado in , solitamente rappresentata nella forma . Nella prossima animazione ripasseremo le caratteristiche della retta e vedremo come si tratti di una funzione monotòna, cioè il cui comportamento è sempre crescente o sempre decrescente.
Una funzione monotona non descrescente segue la condizione
cioè all'aumentare delle , le non calano (crescono o rimangono costanti).
Analogamente si può definire una funzione monotona non crescente.
Un esempio di funzione monotona non decrescente è illustrato sotto.
NOTA: talvolta si trovano definizioni alternative per cui si definisce monotona strettamente crescente una funzione crescente (quella in cui ) e monotona crescente [non strettamente] una funzione non decrescente per cui .
LA PARABOLA - LIMITATEZZA E PUNTI DI MASSIMO E DI MINIMO
Se rappresentiamo sul piano un'espressione di secondo grado otteniamo il grafico di una parabola; la rivediamo nella prossima animazione, in cui ne approfittiamo per introdurre il concetto di LIMITATEZZA e quello di PUNTO DI MASSIMO (o di MINIMO).
COMPLETIAMO LE DEFINIZIONI
Nell'animazione abbiamo visto diversi concetti; aggiungiamo qualche nota per completarli.
Il vertice della parabola è il suo punto di massimo (o minimo) ASSOLUTO, perché la sua immagine è maggiore (o inferiore) di TUTTI gli altri risultati della parabola. Vedremo che è possibile definire anche un punto di massimo/minimo relativo, che il cui output è superiore (o inferiore) solo ai risultati delle "vicine" a quella del punto.
I valori maggiori o uguali a tutti gli elementi di un certo insieme si dicono maggioranti di quell'insieme.
ESEMPIO: nella parabola rivolta in basso usata come esempio nell'animazione, tutte le sono maggioranti del codominio della parabola (cioè dell'insieme dei suoi risultati).
Il più piccolo dei maggioranti di un insieme è detto massimo di quell'insieme.
ESEMPIO: nella stessa parabola è il massimo del codominio della parabola.
Nel caso di una funzione, se il massimo del codominio è immagine di un elemento del dominio, cioè , allora è detto punto di massimo.
ESEMPIO: nella solita parabola è il punto di massimo, in quanto il suo risultato è il maggiore di tutti. In generale in una parabola rivolta verso il basso si ha che la del vertice è il punto di massimo [assoluto].
In modo analogo ovviamente si definiscono i minoranti, il minimo ed il punto di minimo.
ATTENZIONE: l'esistenza di un punto di massimo (o di minimo) NON è sottintesa e garantita, anche se la funzione è limitata superiormente (o inferiormente), come mostra l'esempio qui sotto.
APPLICHIAMO I CONCETTI
Concludiamo questa prima parte nel percorso provando ad applicare i concetti visti per verificare se li abbiamo capiti.
Intervalli di crescenza/decrescenza
Una parabola NON è una funzione MONOTONA, perché non è sempre crescente o decrescente.
Tuttavia è possibile definire degli intervalli in cui la funzione è crescente ed altri in cui è decrescente. Consideriamo ad esempio una parabola rivolta verso l'alto.
Possiamo notare osservando la figura che la funzione è crescente per tutte le "dopo" il vertice, cioè . La scrittura completa sarà
[per ogni coppia e maggiori di , se è maggiore di (le x crescono) allora è maggiore di (anche le corrispondenti crescono).
In modo analogo diremo che le "a sinistra" di , cioè minori di essa, definiscono un intervallo di decrescenza della funzione:
UNA DOMANDA PER CAPIRE
Le funzioni lineari (rette) sono limitate superiormente e/o inferiormente?