Magnitud de diámetros conjugados de cónica dada por centro + 3 datos
- Tema:
- Secciones Cónicas, Geometría
Dada una cónica por su centro (O), dos tangentes (t y t') y un punto de tangencia (T), calcular los diámetros conjugados, incluida su magnitud, de forma que uno de ellos sea paralelo a la tangente t.
La determinación del diámetro paralelo a t es trivial, dado que ha de pasar por el centro O de la cónica, la dificultad está en determinar su magnitud. El diámetro conjugado es inmediato, dado que ha de pasar por O y por T, el punto de tangencia de una tangente en la dirección conjugada. Además por simetría se puede obtener el punto Tsimétrico, que determina el segmento.
La determinación de la magnitud del diámetro paralelo a t requiere algo más de trabajo. Si se considera la involución que subordina la cónica en el diámetro, los puntos dobles se corresponden con los puntos de corte del diámetro con la cónica, y por lo tanto determinan su magnitud. En la involución está definido el punto límite, el centro O, pero se necesita conocer al menos una pareja de elementos homólogos. Para ello es preciso conocer una tangente (t), y su punto de tangencia (T'), que no sean paralelos al diámetro paralelo a t.
Es preciso entonces determinar el punto de tangencia T', perteneciente a la recta t'. El razonamiento obtenido para la determinación es análogo al que se explica aquí, dado el punto P, su polar ha de pasar por T y T'. La dirección de la recta polarP será la homóloga en la involución subordinada en el punto P a la recta d, que pasa por el centro O. Dado que las tangentes t y t' son rectas dobles en dicha involución, se puede determinar la dirección d' seccionando el haz con el diámetro paralelo a t. Como uno de los puntos dobles es impropio, el punto O'0 es el simétrico de O respecto a T'0. La paralela a d' por T es la polar de P y determina T'.
Considerando la involución sobre el diámetro paralelo a t, la polar de T'0 ha de tener la dirección del diámetro conjugado, y pasar por T'. Con el pie de la polar se tiene una pareja de puntos en involución. Utilizando el teorema del cateto se puede determinar la potencia de la involución, y por lo tanto los puntos de corte y la magnitud del segmento.