elliptic/hyperbolic pencils of circles

Author:: Walter Füchte

Topic:: Calculus, Circle, Complex Numbers, Differential Equation, Exponential Functions, Geometric Transformations

Diese Aktivität ist eine Seite des geogebra-books geometry of some complex functions october 2021
Ein elliptisches Kreisbüschel besteht aus allen Kreisen durch 2 Grundpunkte, die wir auch Brennpunkte nennnen. Die dazu orthogonalen Kreise bilden das dazu polare hyperbolische Kreisbüschel. Im Applet oben ist das Strahlenbüschel durch w₀ ein elliptisches Kreisbüschel, der 2. Brennpunkt ist

. Die konzentrischen Kreise um w₀ sind das polare hyperbolische Kreisbüschel. Die Kreise entstehen aus den achsenparallelen Geraden als Bilder unter der komplexen Funktion

für oder

Im Applet unten sind w₀ und w

die Brennpunkte. Die Kreise sind Bilder der achsenparallelen Geraden unter der komplexen Funktion

Allgemein sind Kreisbüschel und deren Loxodrome - also die Kurven, welche die Kreise des Büschels unter konstantem Winkel schneiden - charakterisiert durch eine Differential-Gleichung und damit durch ein Vektorfeld des Typs

Hierbei ist die komplexe Lösungsfunktion

analytisch, bzw. meromorph. Die Nullstellen

, die wir Brennpunkte nennen, können zusammenfallen ( - dann liegt ein parabolisches Kreisbüschel vor - ). Man kann die Kreise eines hyperbolische Kreisbüschels dynamisch deuten als Kreiswellen, die sich von einer Quelle aus in Richtung der Kreise des orthogonalen elliptischen Kreisbüschel zur Senke bewegen. Quelle und Senke sind die Brennpunkte der Wellen-Bewegung. Wir nennen diese Vektorfelder linear. Zur Erklärung verweisen wir auf die Darstellung der Möbiusgruppe durch die komplexe spezielle orthogonale Gruppe SO(3,

) und deren LIE-Algebra

geogebra-book Möbiusebene, speziell das Kap. Kreisbüschel und lineare Vektorfelder Überlagert man 2 solcher Vektorfelder, so entstehen "quadratische Vektorfelder", deren Lösungskurven konfokale Kegelschnitte oder konfokale bizirkulare Quartiken sein können. Brennpunkte sind die Nullstellen der linearen Vektorfelder. Die Lösungskurven sind in diesen Fällen Winkelhalbierende der sich schneidenden Kreise aus den beiden Kreisbüschel. links:

elliptic/hyperbolic pencils of circles

New Resources

Discover Resources

Discover Topics