OPERAÇÕES COM VETORES
INTRODUÇÃO
O objetivo desta atividade é ampliar a compreensão sobre as operações com vetores de um modo significativo. Os escalares (números reais) serão representados por letras gregas como α e β. Os vetores serão representados por letras minúsculas como u, v e w. Propriedades da adição de vetores: A1. v + u = u + v (comutativa) A2. (u + v)+ w = u + (v + w) (associativa) A3. u + o = u (existência do elemento neutro) A4. -u + u = o (existência do simétrico) Propriedades da multiplicação de um escalar por um vetor: M1. (αβ)u = α(βu) M2. 1u = u (unidade como elemento neutro) D1. α(u + v) = αu + αv (distributiva da multiplicação em relação a adição de vetores) D2. (α+β)u = αu + βu (distributiva da multiplicação em relação a adição de escalares)
COORDENADAS DE UM VETOR
Um vetor é representado, geometricamente, por meio de uma seta, mas, algebricamente, um vetor é representado por um par ordenado de números reais, que são as coordenadas, caso seja um vetor do plano, ou por um terno ordenado, caso seja um vetor representado no espaço.
Construção 1
Questão 1
Na Construção 1, movimenta os pontos a preto, para modificar as coordenadas do vetor v. Qual a relação entre as coordenadas de v e o comprimento de suas projeções ortogonais sobre os eixos x e y, representadas pelos vetores azul e verde, respectivamente?
Construção 2
Questão 2
Na Construção 2, clica sobre o vetor v e arrasta-o pra diferentes posições. A seguir, clica sobre um dos pontos A ou B e movimenta-os também.
(a) Quando arrastaste o vetor v (sem clicar nos pontos), as coordenadas dele foram alteradas? Por que achas que isso aconteceu?
(b) Quando moveste os pontos A e B, as coordenadas do vetor v foram alteradas? Por que achas que isso aconteceu?
(c) Como as coordenadas do vetor v podem ser obtidas a partir das coordenadas de sua origem A e de sua extremidade B?
(d) Em que situação as coordenadas do vetor v coincidem com as coordenadas de sua extremidade B?
MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR
Na Construção 3 podes modificar a aparência (norma, direção e sentido) do vetor u manipulando-o a partir de sua extremidade. Contudo, o vetor v está definido de modo que v = αu. Assim, embora possa ser movido para qualquer posição do plano, sua aparência depende do vetor u e do valor do escalar α. Nesta construção podes observar também os valores das coordenadas dos vetores u e v, bem como as suas normas, representadas por ue v.
Construção 3
Questão 3
Na Construção 3, manipula o seletor para alterar o valor de α e responder às seguintes questões:
(a) A direção do vetor v é sempre a mesma do vetor u quando alteras o valor de α? E se alterares o vetor u manipulando a sua extremidade ou a sua origem?
(b) O sentido dos vetores u e v é sempre o mesmo? Se não, em que situações esse sentido se inverte?
(c) O que acontece quando α = 0?
(d) O que acontece quando α = 1?
(e) O que acontece quando α = -1?
(f) Para que valores de α o vetor v é menor que o vetor u?
Questão 4
Ainda com base na Construção 3, responde às seguintes questões.
(a) Como é possível obter o valor da norma do vetor v a partir do valor de α e do módulo do vetor u?
(b) Como é possível obter as coordenadas do vetor v =(a, b) a partir do valor de α e das coordenadas do vetor u = (c, d)?
VETOR: UM "TRANSPORTADOR" DE PONTOS
Podemos considerar um vetor como um "transportador" de pontos. Na Construção 4, temos um vetor v com origem em P. Para mover o ponto P, modifica o vetor v arrastando sua extremidade para onde desejas que o ponto P se desloque, e depois, clicas em cima do vetor v e observas o ponto P a mover-se para lá.
Construção 4
Na Construção 5, clicando sobre um dos vetores que aparecem do lado direito, podes transportar o ponto P da posição em que se encontra, por uma distância correspondente à norma do vetor na direção e no sentido do mesmo. Deves levar o ponto P até o ponto vermelho clicando uma única vez em cada um dos vetores. Será que a ordem dos cliques faz diferença? Conseguindo ou não cumprir a tarefa à primeira tentativa, clica no ícone de reiniciar a construção, no canto superior direito, e vê se consegues levar o ponto P até o ponto vermelho de uma forma diferente.
Construção 5
O resultado da experiência realizada na construção acima é uma consequência das propriedades da adição de vetores.