Punkte auf einer Geraden II
Übungsaufgabe
Gegeben ist eine Gerade durch die zwei Punkte A=(-2|-4|1) und B=(2|1|3).
Es ist zu untersuchen, ob die Punkte C=(1|-0.25|2.5), D=(-4|-6.5|0), E=(6|6|5) und F=(0|-2|2) auf der Geraden liegen.
Aufstellen der Geradengleichung
Die Gerade verläuft durch die Punkte A=(-2|-4|1) und B=(2|1|3).
ist der Ortsvektor des Punktes A, dieser kann als Stützvektor verwendet werden.
Der Richtungsvektor ist ein Vektor, der von Punkt A zu Punkt B führt. B liegt in x-Richtung um 4 Einheiten weiter als A, in y-Richtung um 5 Einheiten und in z-Richtung um 2 Einheiten. Also ist
Man erhält auch als Vektordifferenz .
Damit lautet die Geradengleichung
Untersuchen, ob die Punkte C, D, E und F auf der Geraden liegen
Es sieht so aus, als ob alle diese Punkte auf der Geraden liegen.
Wenn man aber in der Zeichnung oben die Perspektive ändert, wird schon deutlich, dass Punkt F nicht auf g liegt.
Aber für die anderen Punkte reicht diese "Sichtprüfung" nicht - ob sie exakt auf der Geraden liegen oder vielleicht ganz dicht daneben, kann nur durch eine Berechnung festgestellt werden:
Punkt C=(1|-0.25|2.5):
Wenn der Punkt C auf der Geraden liegt, muss der Ortsvektor von C die Geradengleichung erfüllen, d.h. es muss gelten
Das sind drei Gleichungen für nur eine Unbekannte , die Vektorgleichung muss ja für die x-Komponente, die y-Komponente und die z-Komponente erfüllt sein. Also:
Da alle drei Gleichungen mit demselben Wert für den Parameter t erfüllt werden, gilt: C liegt auf g.
Entsprechende Berechnungen sind für die Punkte D, E und F durchzuführen, wobei bei Punkt F auf jeden Fall nicht alle drei Gleichungen auf denselben Wert für t führen, denn F liegt ja nicht auf g (siehe oben).