es 4.5
L'idea è quella di costruire un triangolo isoscele di base AB come quello di prop IV.10 (detto triangolo aureo) sfruttando il risultato dell'es 20.10. Anche in questo caso il triangolo aureo sarà la base di partenza per costruire il pentagono regolare. Vogliamo quindi determinare un punto J sul prolungamento di AB tale che (AB)^2=AJ*BJ. La prima parte della costruzione riprende l'idea della prop II.11 (al contrario) e permette di determinare il punto J. (asse del segmento AB e punto medio: 3 passi + retta parallela ad h passante per B: 1 passo + circonferenza centro F raggio FG: 1 passo) (TOT: 4 passi)
Nei passi successivi si costruisce il triangolo isoscele si base AB e lato congruente ad AJ.
Si costruiscono quindi due circonferenze di raggio AJ e centro rispettivamente A e B, individuando i punti di intersezione L,N,P e si tracciano i segmenti che li uniscono. (2 circonferenze + 4 segmenti)
TOTALE PASSI: 10
DIM:
Per costruzione quindi ABL è un triangolo aureo. AP e BN sono congruenti ad AB per costruzione, in quanto raggi di circonferenze di raggio pari ad AB. Rimane da dimostrare che anche LN e LP sono congruenti ad AB. La dimostrazione sarà analoga nei due casi, quindi ci concentreremo su LN.
Per quanto visto nella dimostrazione della prop IV.11, AN è la bisettrice dell'angolo LAB. Sia Q il punto di intersezione tra LB e AN. Si osservano i seguenti fatti:
- il triangolo ABQ è simile a ABL e in particolare AQ è congruente ad AB e (es 20.10)
- BQ è congruente a BJ e QL è congruente ad AB (per es 20.2).
- AN è congruente ad AJ, e poiché AQ è congruente ad AB, QN deve essere congruente a BJ.
- in quanto angoli opposti al vertice (I.15)
-per I.4 ABQ e QLN sono triangolo congruenti.
In particolare LN è congruente ad AB e ciò conclude la dimostrazione.