Es 4.3
Trovo O, centro della circonferenza c, come descritto nella proposizione 3.1 di Euclide (6 passi). Così facendo individuo i punti C e H come in figura.
Traccio la circonferenza di centro H e raggio OH (1 passo) ed individuo i punti A e B come intersezione di tale circonferenza con la circonferenza c.
Il triangolo ABC è il triangolo cercato.
Dimostrazione
Osservo che i triangoli OAH e OBH sono equilateri dal momento che tutti i lati sono congruenti al raggio della circonferenza c. Dunque utilizzando 1.5 si ha che anche gli angoli sono congruenti ed in particolare chiamiamo uno di questi angoli.
Considero i triangoli AKO e BKO. Essi hanno AO BO perchè raggi della stessa circonferenza, OK in comune e AOKBOK per quando detto prima. Dunque tali triangoli sono congruenti per 1.4 ed in particolare AKKB e AKOBKO (angoli retti).
Dunque si ha che AB è perpendicolare a CH.
Considero i triangoli OAK e KAH. Essi sono congruenti per 1.26 dal momento che AOAH, AK in comune e OKAHKA (retti). Dunque si ha che OAKKAH/2.
Considero ora i triangoli ACK e BCK. Essi hanno CK in comune, AKKB e inoltre gli angoli in K sono retti, dunque sono congruenti per 1.4. In particolare ACKBCK.
Per 3.20 ACB AOB/2= . Da cui ACK/2.
Considero i triangoli CAO e AOB. Essi hanno 2 lati rispettivamente congruenti (raggi della circonferenza c) ed una lato rispettivamente congruente pari ad /2. Dunque sono congruenti per 2.26. In particolare CAAB.
Si può fare lo stesso ragionamento con il triangolo COB.