Estimaciones de áreas. Rejilla, Muestreo y Montecarlo
Método de la Rejilla
Un posible método para calcular el área de una figura cualquiera podría ser dibujarla sobre una cuadrícula/rejilla y contar cuántos cuadrados contiene.
- Una aproximación del área sería la suma de las áreas de esos pequeños cuadrados.
- Cuando no contenga el cuadrado entero, podríamos afinar un poco la estimación, contando, por ejemplo, la mitad de esa área. Otros métodos, lo que hacen es contar el cuadrado cuando su centro está contenido en la figura.
- Elegimos al azar varios cuadrados, por ejemplo 50, y contamos cuántos de ellos están contenidos en la figura. Podrían salir, por ejemplo, 10.
- El área de la figura se estima como esa misma proporción (en el ejemplo 10/50), del área de la cuadrícula.
- Seleccionamos varios puntos al azar dentro de la rejilla, por ejemplo 50, y contamos cuántos de ellos están contenidos en la figura. Podrían ser, por ejemplo, 10.
- El área de la figura se estima como esa misma proporción (en el ejemplo 10/50), del área de la cuadrícula.
Estimamos el área
Comentarios sobre los métodos de estimación
Si los cuadrados de la cuadrícula tienen un lado muy grande, podemos cometer bastante error, pero al tomar cuadrados de lado cada vez más pequeño, este error se reduce drásticamente.
Fíjate en los cálculos que ofrece el applet para diferentes configuraciones de un polígono o de un círculo y modificando el "Paso" (lado de los cuadrados en la rejilla). Con pasos pequeños, la estimación resulta bastante buena.
La aproximación que hacemos con el método de la rejilla es la base teórica de uno de los métodos de medición de áreas "la integral de Lebesgue": al llevar este proceso al límite, el resultado obtenido resulta el área buscada (conseguimos cometer un error igual a 0 en la aproximación).
En matemáticas, se denomina "integral" a esa medición que hacemos del área usando métodos matemáticos.
El segundo método es bastante utilizado en ciencias como la biología para situaciones relacionadas con recuentos. Por ejemplo, para contar el número de animales que viven en una zona amplia.
El tercer método, se denomina "de Montecarlo", en referencia al famoso casino de Montecarlo (Mónaco). Es frecuente que, a los métodos matemáticos que utilizan el azar, se les añada el sobrenombre de "Montecarlo". Así, en este caso, sería "Integración de Montecarlo".
Nuestro turno
Ha llegado el momento de hacer nuestras propias estimaciones de áreas.
En este caso, las prepararemos usando el applet, pues nos ofrece como información el área real, y así podremos calcular también el error cometido en nuestra estimación.
Trabajaremos por grupos de 4-5 personas y también de forma individual. Si todos elegimos las mismas figuras (ver fase 0), podremos combinar el resultado final como trabajo en gran grupo.
Fase 0. Preparando las fichas
Esta fase la hará el profesor, o bien un alumno seleccionado en cada grupo
- Usando el applet, dibujaremos varias figuras curvas (para que, realmente, no tengamos fórmula para su área).
- Anotamos el área que nos indica el applet.
- Elegimos un tamaño de rejilla (por ejemplo, paso 0.5cm) e imprimimos la pantalla del applet, sin mostrar los cuadrados. Así, podremos dibujar encima. Necesitaremos una ficha por persona con un dibujo de cada figura.
- Cada uno, aplicamos el método de muestreo por rejilla, eligiendo al azar, por ejemplo, 15 cuadrados. Para elegir cada cuadrado al azar, necesitamos dos números aleatorios (fila y columna en que se encuentra el cuadrado).
- Contamos cuántos cuadrados hay dentro de la figura y, con eso, hacemos nuestra estimación tal y como se hace en el applet. Esto incluye el cálculo del error.
- Ahora, aplicamos el método de Integración de Montecarlo, eligiendo al azar, por ejemplo, 15 puntos. Para elegir cada cuadrado al azar, necesitamos dos números aleatorios (fila y columna en que se encuentra el cuadrado).
- Contamos cuántos puntos hay dentro y, con eso, hacemos nuestra estimación tal y como se hace en el applet. También el cálculo del error.
- Mostramos nuestros resultados al resto del grupo y comprobamos que todos hemos hecho el procedimiento correctamente.
- Contrastamos los errores. A la vista de los resultados del grupo ¿alguno de los métodos parece más preciso? Consensuamos una respuesta, para debatirla en la fase de gran grupo.
- Para cada figura, calculamos la media de las estimaciones que hemos hecho los miembros del grupo.
- Razonamos y anotamos la respuesta: al hacer la media, ¿han mejorado las estimaciones?
- Razonamos y anotamos la respuesta: para el método de Montecarlo, ¿el hacer la media es lo mismo que si hubiésemos juntado todos los puntos calculados por los miembros y luego hecho la estimación?
- El portavoz de cada grupo expone las conclusiones de los puntos 2, 4 y 5 del apartado anterior.
- Debatimos para intentar llegar a una conclusión grupal. Si no hay acuerdo, no hay problema. Anotaremos el resultado en el porfolio de clase.
- Si hemos elegido las mismas figuras todos los grupos, calculamos la media de las estimaciones para cada uno de los dos métodos y, como en el caso anterior, volvemos a comprobar si las estimaciones mejoran.
- ¿Se corresponde esto con las conclusiones anteriores?
- conclusiones personales sobre estos métodos.
- ¿crees que resulta útil conocer estas técnicas? Indica qué has aprendido a hacer con todo este proceso.
- ¿Te parece curioso el hecho de que unas áreas y otras de matemáticas se relacionan entre sí. En este caso: geometría, gráficas y funciones (para las coordenadas de los puntos), proporcionalidad y probabilidad?
- Conclusiones
- ¿Qué opinas sobre la actividad que hemos hecho? (incluida la interacción con el applet)
- ¿Qué te ha gustado más? ¿Hay algo que te haya sorprendido?
- ¿Qué ha sido más fácil? ¿Qué te ha parecido más difícil?